Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60042 / 41710
↖ ↑ ↗
← N 54.600710°
W 15.089722°		 ← 176.92 m → N 54.600710°
W 15.086975°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 54.599119°
W 15.089722°		 ← 176.93 m →
31 303 m²		 N 54.599119°
W 15.086975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458087921142578 y=0.318225860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458087921142578 × 217)
    floor (0.458087921142578 × 131072)
    floor (60042.5)     		tx = 60042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318225860595703 × 217)
    floor (0.318225860595703 × 131072)
    floor (41710.5)     		ty = 41710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60042 / 41710 ti = "17/60042/41710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60042/41710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60042 ÷ 217
    60042 ÷ 131072     		x = 0.458084106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41710 ÷ 217
    41710 ÷ 131072     		y = 0.318222045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458084106445312 × 2 - 1) × π
    -0.083831787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26336533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318222045898438 × 2 - 1) × π
    0.363555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14214457034746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26336533} λ = -0.26336533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14214457034746))-π/2
    2×atan(3.13348113533664)-π/2
    2×1.2618792451666-π/2
    2.52375849033321-1.57079632675     		φ = 0.95296216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26336533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.089722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95296216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.600710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60042 KachelY 41710 -0.26336533 0.95296216 -15.089722 54.600710
    Oben rechts KachelX + 1 60043 KachelY 41710 -0.26331739 0.95296216 -15.086975 54.600710
    Unten links KachelX 60042 KachelY + 1 41711 -0.26336533 0.95293439 -15.089722 54.599119
    Unten rechts KachelX + 1 60043 KachelY + 1 41711 -0.26331739 0.95293439 -15.086975 54.599119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95296216-0.95293439) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95296216-0.95293439) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26336533--0.26331739) × cos(0.95296216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579271074159998 × 6371000     		do = 176.924296486001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26336533--0.26331739) × cos(0.95293439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579293710234809 × 6371000     		du = 176.931210125901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95296216)-sin(0.95293439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579271074159998-0.579293710234809)×R²
    abs(-0.26331739--0.26336533)×2.26360748114551e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26360748114551e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26360748114551e-05×40589641000000     		ar = 31302.5305139809m²