Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60041 / 59781
↖ ↑ ↗
← S 81.418033°
E149.815064°		 ← 91.14 m → S 81.418033°
E149.820557°		 →
↑
91.17 m
↓
↑
91.17 m
↓
S 81.418853°
E149.815064°		 ← 91.14 m →
8 309 m²		 S 81.418853°
E149.820557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916160583496094 y=0.912193298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916160583496094 × 216)
    floor (0.916160583496094 × 65536)
    floor (60041.5)     		tx = 60041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912193298339844 × 216)
    floor (0.912193298339844 × 65536)
    floor (59781.5)     		ty = 59781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60041 / 59781 ti = "16/60041/59781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60041/59781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60041 ÷ 216
    60041 ÷ 65536     		x = 0.916152954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59781 ÷ 216
    59781 ÷ 65536     		y = 0.912185668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916152954101562 × 2 - 1) × π
    0.832305908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61476613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912185668945312 × 2 - 1) × π
    -0.824371337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58983893887315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61476613} λ = 2.61476613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58983893887315))-π/2
    2×atan(0.0750321238706071)-π/2
    2×0.0748917918187927-π/2
    0.149783583637585-1.57079632675     		φ = -1.42101274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61476613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.815064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42101274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.418033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60041 KachelY 59781 2.61476613 -1.42101274 149.815064 -81.418033
    Oben rechts KachelX + 1 60042 KachelY 59781 2.61486200 -1.42101274 149.820557 -81.418033
    Unten links KachelX 60041 KachelY + 1 59782 2.61476613 -1.42102705 149.815064 -81.418853
    Unten rechts KachelX + 1 60042 KachelY + 1 59782 2.61486200 -1.42102705 149.820557 -81.418853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42101274--1.42102705) × R
    1.43099999998508e-05 × 6371000     		dl = 91.1690099990496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42101274--1.42102705) × R
    1.43099999998508e-05 × 6371000     		dr = 91.1690099990496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61476613-2.61486200) × cos(-1.42101274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149224145857737 × 6371000     		do = 91.1442832785996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61476613-2.61486200) × cos(-1.42102705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149209996065874 × 6371000     		du = 91.1356407587817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42101274)-sin(-1.42102705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149224145857737-0.149209996065874)×R²
    abs(2.61486200-2.61476613)×1.41497918629552e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41497918629552e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41497918629552e-05×40589641000000     		ar = 8309.14010908021m²