Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60040 / 59784
↖ ↑ ↗
← S 81.420492°
E149.809570°		 ← 91.13 m → S 81.420492°
E149.815064°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
S 81.421311°
E149.809570°		 ← 91.12 m →
8 302 m²		 S 81.421311°
E149.815064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916145324707031 y=0.912239074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916145324707031 × 216)
    floor (0.916145324707031 × 65536)
    floor (60040.5)     		tx = 60040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912239074707031 × 216)
    floor (0.912239074707031 × 65536)
    floor (59784.5)     		ty = 59784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60040 / 59784 ti = "16/60040/59784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60040/59784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60040 ÷ 216
    60040 ÷ 65536     		x = 0.9161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59784 ÷ 216
    59784 ÷ 65536     		y = 0.9122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9161376953125 × 2 - 1) × π
    0.832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61467025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.824462890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59012656027087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61467025} λ = 2.61467025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59012656027087))-π/2
    2×atan(0.0750105461295242)-π/2
    2×0.0748703348418833-π/2
    0.149740669683767-1.57079632675     		φ = -1.42105566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61467025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42105566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.420492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60040 KachelY 59784 2.61467025 -1.42105566 149.809570 -81.420492
    Oben rechts KachelX + 1 60041 KachelY 59784 2.61476613 -1.42105566 149.815064 -81.420492
    Unten links KachelX 60040 KachelY + 1 59785 2.61467025 -1.42106996 149.809570 -81.421311
    Unten rechts KachelX + 1 60041 KachelY + 1 59785 2.61476613 -1.42106996 149.815064 -81.421311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42105566--1.42106996) × R
    1.43000000001337e-05 × 6371000     		dl = 91.1053000008515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42105566--1.42106996) × R
    1.43000000001337e-05 × 6371000     		dr = 91.1053000008515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61467025-2.61476613) × cos(-1.42105566) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149181706278584 × 6371000     		do = 91.1278660691388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61467025-2.61476613) × cos(-1.42106996) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149167566283207 × 6371000     		du = 91.119228632035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42105566)-sin(-1.42106996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149181706278584-0.149167566283207)×R²
    abs(2.61476613-2.61467025)×1.41399953778321e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41399953778321e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41399953778321e-05×40589641000000     		ar = 8301.83811882042m²