Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60039 / 41713
↖ ↑ ↗
← N 54.595936°
W 15.097962°		 ← 176.95 m → N 54.595936°
W 15.095215°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 54.594345°
W 15.097962°		 ← 176.95 m →
31 306 m²		 N 54.594345°
W 15.095215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458065032958984 y=0.318248748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458065032958984 × 217)
    floor (0.458065032958984 × 131072)
    floor (60039.5)     		tx = 60039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318248748779297 × 217)
    floor (0.318248748779297 × 131072)
    floor (41713.5)     		ty = 41713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60039 / 41713 ti = "17/60039/41713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60039/41713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60039 ÷ 217
    60039 ÷ 131072     		x = 0.458061218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41713 ÷ 217
    41713 ÷ 131072     		y = 0.318244934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458061218261719 × 2 - 1) × π
    -0.0838775634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26350914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318244934082031 × 2 - 1) × π
    0.363510131835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.1420007596486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26350914} λ = -0.26350914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1420007596486))-π/2
    2×atan(3.13303053962572)-π/2
    2×1.26183759003639-π/2
    2.52367518007278-1.57079632675     		φ = 0.95287885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26350914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.097962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95287885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.595936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60039 KachelY 41713 -0.26350914 0.95287885 -15.097962 54.595936
    Oben rechts KachelX + 1 60040 KachelY 41713 -0.26346120 0.95287885 -15.095215 54.595936
    Unten links KachelX 60039 KachelY + 1 41714 -0.26350914 0.95285108 -15.097962 54.594345
    Unten rechts KachelX + 1 60040 KachelY + 1 41714 -0.26346120 0.95285108 -15.095215 54.594345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95287885-0.95285108) × R
    2.77700000000936e-05 × 6371000     		dl = 176.922670000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95287885-0.95285108) × R
    2.77700000000936e-05 × 6371000     		dr = 176.922670000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26350914--0.26346120) × cos(0.95287885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579338981044208 × 6371000     		do = 176.945036996157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26350914--0.26346120) × cos(0.95285108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579361615778761 × 6371000     		du = 176.951950226708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95287885)-sin(0.95285108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579338981044208-0.579361615778761)×R²
    abs(-0.26346120--0.26350914)×2.26347345524402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26347345524402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26347345524402e-05×40589641000000     		ar = 31306.1999441773m²