Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60038 / 85637
↖ ↑ ↗
← S 48.233821°
W 15.100708°		 ← 203.40 m → S 48.233821°
W 15.097962°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
S 48.235650°
W 15.100708°		 ← 203.39 m →
41 376 m²		 S 48.235650°
W 15.097962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458057403564453 y=0.653362274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458057403564453 × 217)
    floor (0.458057403564453 × 131072)
    floor (60038.5)     		tx = 60038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653362274169922 × 217)
    floor (0.653362274169922 × 131072)
    floor (85637.5)     		ty = 85637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60038 / 85637 ti = "17/60038/85637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60038/85637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60038 ÷ 217
    60038 ÷ 131072     		x = 0.458053588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85637 ÷ 217
    85637 ÷ 131072     		y = 0.653358459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458053588867188 × 2 - 1) × π
    -0.083892822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26355707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653358459472656 × 2 - 1) × π
    -0.306716918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.963579619262749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26355707} λ = -0.26355707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963579619262749))-π/2
    2×atan(0.381524725432752)-π/2
    2×0.364478671054882-π/2
    0.728957342109764-1.57079632675     		φ = -0.84183898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26355707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.100708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84183898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.233821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60038 KachelY 85637 -0.26355707 -0.84183898 -15.100708 -48.233821
    Oben rechts KachelX + 1 60039 KachelY 85637 -0.26350914 -0.84183898 -15.097962 -48.233821
    Unten links KachelX 60038 KachelY + 1 85638 -0.26355707 -0.84187091 -15.100708 -48.235650
    Unten rechts KachelX + 1 60039 KachelY + 1 85638 -0.26350914 -0.84187091 -15.097962 -48.235650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84183898--0.84187091) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84183898--0.84187091) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26355707--0.26350914) × cos(-0.84183898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.666092314179979 × 6371000     		do = 203.399301225521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26355707--0.26350914) × cos(-0.84187091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.666068498233336 × 6371000     		du = 203.392028739707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84183898)-sin(-0.84187091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666092314179979-0.666068498233336)×R²
    abs(-0.26350914--0.26355707)×2.38159466428023e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38159466428023e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38159466428023e-05×40589641000000     		ar = 41375.9726501777m²