Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60038 / 41686
↖ ↑ ↗
← N 54.638876°
W 15.100708°		 ← 176.72 m → N 54.638876°
W 15.097962°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.637287°
W 15.100708°		 ← 176.73 m →
31 233 m²		 N 54.637287°
W 15.097962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458057403564453 y=0.318042755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458057403564453 × 217)
    floor (0.458057403564453 × 131072)
    floor (60038.5)     		tx = 60038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318042755126953 × 217)
    floor (0.318042755126953 × 131072)
    floor (41686.5)     		ty = 41686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60038 / 41686 ti = "17/60038/41686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60038/41686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60038 ÷ 217
    60038 ÷ 131072     		x = 0.458053588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41686 ÷ 217
    41686 ÷ 131072     		y = 0.318038940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458053588867188 × 2 - 1) × π
    -0.083892822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26355707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318038940429688 × 2 - 1) × π
    0.363922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14329505593834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26355707} λ = -0.26355707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14329505593834))-π/2
    2×atan(3.13708823479225)-π/2
    2×1.26221231045342-π/2
    2.52442462090684-1.57079632675     		φ = 0.95362829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26355707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.100708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95362829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.638876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60038 KachelY 41686 -0.26355707 0.95362829 -15.100708 54.638876
    Oben rechts KachelX + 1 60039 KachelY 41686 -0.26350914 0.95362829 -15.097962 54.638876
    Unten links KachelX 60038 KachelY + 1 41687 -0.26355707 0.95360055 -15.100708 54.637287
    Unten rechts KachelX + 1 60039 KachelY + 1 41687 -0.26350914 0.95360055 -15.097962 54.637287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95362829-0.95360055) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dl = 176.731540000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95362829-0.95360055) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dr = 176.731540000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26355707--0.26350914) × cos(0.95362829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578727959821496 × 6371000     		do = 176.721544628959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26355707--0.26350914) × cos(0.95360055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578750582141962 × 6371000     		du = 176.728452626659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95362829)-sin(0.95360055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578727959821496-0.578750582141962)×R²
    abs(-0.26350914--0.26355707)×2.26223204654596e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26223204654596e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26223204654596e-05×40589641000000     		ar = 31232.8811661817m²