Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60038 / 41685
↖ ↑ ↗
← N 54.640466°
W 15.100708°		 ← 176.71 m → N 54.640466°
W 15.097962°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
N 54.638876°
W 15.100708°		 ← 176.72 m →
31 243 m²		 N 54.638876°
W 15.097962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458057403564453 y=0.318035125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458057403564453 × 217)
    floor (0.458057403564453 × 131072)
    floor (60038.5)     		tx = 60038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318035125732422 × 217)
    floor (0.318035125732422 × 131072)
    floor (41685.5)     		ty = 41685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60038 / 41685 ti = "17/60038/41685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60038/41685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60038 ÷ 217
    60038 ÷ 131072     		x = 0.458053588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41685 ÷ 217
    41685 ÷ 131072     		y = 0.318031311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458053588867188 × 2 - 1) × π
    -0.083892822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26355707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318031311035156 × 2 - 1) × π
    0.363937377929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.14334299283796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26355707} λ = -0.26355707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14334299283796))-π/2
    2×atan(3.13723862068055)-π/2
    2×1.26222618139426-π/2
    2.52445236278852-1.57079632675     		φ = 0.95365604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26355707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.100708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95365604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.640466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60038 KachelY 41685 -0.26355707 0.95365604 -15.100708 54.640466
    Oben rechts KachelX + 1 60039 KachelY 41685 -0.26350914 0.95365604 -15.097962 54.640466
    Unten links KachelX 60038 KachelY + 1 41686 -0.26355707 0.95362829 -15.100708 54.638876
    Unten rechts KachelX + 1 60039 KachelY + 1 41686 -0.26350914 0.95362829 -15.097962 54.638876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95365604-0.95362829) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dl = 176.795249999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95365604-0.95362829) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dr = 176.795249999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26355707--0.26350914) × cos(0.95365604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578705328900328 × 6371000     		do = 176.71463400493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26355707--0.26350914) × cos(0.95362829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578727959821496 × 6371000     		du = 176.721544628959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95365604)-sin(0.95362829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578705328900328-0.578727959821496)×R²
    abs(-0.26350914--0.26355707)×2.26309211682763e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26309211682763e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26309211682763e-05×40589641000000     		ar = 31242.9187821953m²