Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60037 / 86141
↖ ↑ ↗
← S 49.147580°
W 15.103455°		 ← 199.78 m → S 49.147580°
W 15.100708°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
S 49.149377°
W 15.103455°		 ← 199.78 m →
39 915 m²		 S 49.149377°
W 15.100708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458049774169922 y=0.657207489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458049774169922 × 217)
    floor (0.458049774169922 × 131072)
    floor (60037.5)     		tx = 60037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657207489013672 × 217)
    floor (0.657207489013672 × 131072)
    floor (86141.5)     		ty = 86141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60037 / 86141 ti = "17/60037/86141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60037/86141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60037 ÷ 217
    60037 ÷ 131072     		x = 0.458045959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86141 ÷ 217
    86141 ÷ 131072     		y = 0.657203674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458045959472656 × 2 - 1) × π
    -0.0839080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26360501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657203674316406 × 2 - 1) × π
    -0.314407348632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.987739816671257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26360501} λ = -0.26360501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987739816671257))-π/2
    2×atan(0.372417472266396)-π/2
    2×0.356504616248932-π/2
    0.713009232497864-1.57079632675     		φ = -0.85778709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26360501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.103455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85778709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.147580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60037 KachelY 86141 -0.26360501 -0.85778709 -15.103455 -49.147580
    Oben rechts KachelX + 1 60038 KachelY 86141 -0.26355707 -0.85778709 -15.100708 -49.147580
    Unten links KachelX 60037 KachelY + 1 86142 -0.26360501 -0.85781845 -15.103455 -49.149377
    Unten rechts KachelX + 1 60038 KachelY + 1 86142 -0.26355707 -0.85781845 -15.100708 -49.149377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85778709--0.85781845) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85778709--0.85781845) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26360501--0.26355707) × cos(-0.85778709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654112906698255 × 6371000     		do = 199.782918571734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26360501--0.26355707) × cos(-0.85781845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654089185769106 × 6371000     		du = 199.775673589396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85778709)-sin(-0.85781845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654112906698255-0.654089185769106)×R²
    abs(-0.26355707--0.26360501)×2.37209291484852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37209291484852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37209291484852e-05×40589641000000     		ar = 39914.8165607195m²