Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60037 / 59821
↖ ↑ ↗
← S 81.450759°
E149.793091°		 ← 90.81 m → S 81.450759°
E149.798584°		 →
↑
90.79 m
↓
↑
90.79 m
↓
S 81.451576°
E149.793091°		 ← 90.80 m →
8 244 m²		 S 81.451576°
E149.798584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916099548339844 y=0.912803649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916099548339844 × 216)
    floor (0.916099548339844 × 65536)
    floor (60037.5)     		tx = 60037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912803649902344 × 216)
    floor (0.912803649902344 × 65536)
    floor (59821.5)     		ty = 59821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60037 / 59821 ti = "16/60037/59821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60037/59821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60037 ÷ 216
    60037 ÷ 65536     		x = 0.916091918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59821 ÷ 216
    59821 ÷ 65536     		y = 0.912796020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916091918945312 × 2 - 1) × π
    0.832183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61438263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912796020507812 × 2 - 1) × π
    -0.825592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59367389084276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61438263} λ = 2.61438263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59367389084276))-π/2
    2×atan(0.0747449303181019)-π/2
    2×0.0746061999506506-π/2
    0.149212399901301-1.57079632675     		φ = -1.42158393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61438263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.793091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42158393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.450759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60037 KachelY 59821 2.61438263 -1.42158393 149.793091 -81.450759
    Oben rechts KachelX + 1 60038 KachelY 59821 2.61447851 -1.42158393 149.798584 -81.450759
    Unten links KachelX 60037 KachelY + 1 59822 2.61438263 -1.42159818 149.793091 -81.451576
    Unten rechts KachelX + 1 60038 KachelY + 1 59822 2.61447851 -1.42159818 149.798584 -81.451576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42158393--1.42159818) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dl = 90.7867499999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42158393--1.42159818) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dr = 90.7867499999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61438263-2.61447851) × cos(-1.42158393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148659326934377 × 6371000     		do = 90.8087698736084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61438263-2.61447851) × cos(-1.42159818) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148645235258598 × 6371000     		du = 90.800161952603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42158393)-sin(-1.42159818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148659326934377-0.148645235258598)×R²
    abs(2.61447851-2.61438263)×1.40916757791765e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.40916757791765e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.40916757791765e-05×40589641000000     		ar = 8243.84234617453m²