Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60035 / 82700
↖ ↑ ↗
← S 42.577355°
W 15.108947°		 ← 224.86 m → S 42.577355°
W 15.106201°		 →
↑
224.90 m
↓
↑
224.90 m
↓
S 42.579377°
W 15.108947°		 ← 224.85 m →
50 569 m²		 S 42.579377°
W 15.106201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458034515380859 y=0.630954742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458034515380859 × 217)
    floor (0.458034515380859 × 131072)
    floor (60035.5)     		tx = 60035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630954742431641 × 217)
    floor (0.630954742431641 × 131072)
    floor (82700.5)     		ty = 82700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60035 / 82700 ti = "17/60035/82700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60035/82700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60035 ÷ 217
    60035 ÷ 131072     		x = 0.458030700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82700 ÷ 217
    82700 ÷ 131072     		y = 0.630950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458030700683594 × 2 - 1) × π
    -0.0839385986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26370088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630950927734375 × 2 - 1) × π
    -0.26190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822788945078644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26370088} λ = -0.26370088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822788945078644))-π/2
    2×atan(0.439205026105388)-π/2
    2×0.413840649035994-π/2
    0.827681298071987-1.57079632675     		φ = -0.74311503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26370088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.108947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74311503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.577355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60035 KachelY 82700 -0.26370088 -0.74311503 -15.108947 -42.577355
    Oben rechts KachelX + 1 60036 KachelY 82700 -0.26365295 -0.74311503 -15.106201 -42.577355
    Unten links KachelX 60035 KachelY + 1 82701 -0.26370088 -0.74315033 -15.108947 -42.579377
    Unten rechts KachelX + 1 60036 KachelY + 1 82701 -0.26365295 -0.74315033 -15.106201 -42.579377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74311503--0.74315033) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dl = 224.896299999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74311503--0.74315033) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dr = 224.896299999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26370088--0.26365295) × cos(-0.74311503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.736364552223709 × 6371000     		do = 224.85777448721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26370088--0.26365295) × cos(-0.74315033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.736340668314843 × 6371000     		du = 224.850481248315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74311503)-sin(-0.74315033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736364552223709-0.736340668314843)×R²
    abs(-0.26365295--0.26370088)×2.38839088658738e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38839088658738e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38839088658738e-05×40589641000000     		ar = 50568.8614023114m²