Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60033 / 85573
↖ ↑ ↗
← S 48.116600°
W 15.114441°		 ← 203.91 m → S 48.116600°
W 15.111694°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 48.118434°
W 15.114441°		 ← 203.90 m →
41 570 m²		 S 48.118434°
W 15.111694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458019256591797 y=0.652873992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458019256591797 × 217)
    floor (0.458019256591797 × 131072)
    floor (60033.5)     		tx = 60033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652873992919922 × 217)
    floor (0.652873992919922 × 131072)
    floor (85573.5)     		ty = 85573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60033 / 85573 ti = "17/60033/85573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60033/85573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60033 ÷ 217
    60033 ÷ 131072     		x = 0.458015441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85573 ÷ 217
    85573 ÷ 131072     		y = 0.652870178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458015441894531 × 2 - 1) × π
    -0.0839691162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26379676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652870178222656 × 2 - 1) × π
    -0.305740356445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.960511657687065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26379676} λ = -0.26379676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960511657687065))-π/2
    2×atan(0.382697025997585)-π/2
    2×0.365501613101967-π/2
    0.731003226203934-1.57079632675     		φ = -0.83979310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26379676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.114441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83979310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.116600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60033 KachelY 85573 -0.26379676 -0.83979310 -15.114441 -48.116600
    Oben rechts KachelX + 1 60034 KachelY 85573 -0.26374882 -0.83979310 -15.111694 -48.116600
    Unten links KachelX 60033 KachelY + 1 85574 -0.26379676 -0.83982510 -15.114441 -48.118434
    Unten rechts KachelX + 1 60034 KachelY + 1 85574 -0.26374882 -0.83982510 -15.111694 -48.118434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83979310--0.83982510) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83979310--0.83982510) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26379676--0.26374882) × cos(-0.83979310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667616878215487 × 6371000     		do = 203.907379065557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26379676--0.26374882) × cos(-0.83982510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66759305371348 × 6371000     		du = 203.900102449402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83979310)-sin(-0.83982510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667616878215487-0.66759305371348)×R²
    abs(-0.26374882--0.26379676)×2.38245020069972e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38245020069972e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38245020069972e-05×40589641000000     		ar = 41570.2634392316m²