Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60033 / 41665
↖ ↑ ↗
← N 54.672243°
W 15.114441°		 ← 176.61 m → N 54.672243°
W 15.111694°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
N 54.670655°
W 15.114441°		 ← 176.62 m →
31 191 m²		 N 54.670655°
W 15.111694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458019256591797 y=0.317882537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458019256591797 × 217)
    floor (0.458019256591797 × 131072)
    floor (60033.5)     		tx = 60033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317882537841797 × 217)
    floor (0.317882537841797 × 131072)
    floor (41665.5)     		ty = 41665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60033 / 41665 ti = "17/60033/41665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60033/41665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60033 ÷ 217
    60033 ÷ 131072     		x = 0.458015441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41665 ÷ 217
    41665 ÷ 131072     		y = 0.317878723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458015441894531 × 2 - 1) × π
    -0.0839691162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26379676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317878723144531 × 2 - 1) × π
    0.364242553710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14430173083036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26379676} λ = -0.26379676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14430173083036))-π/2
    2×atan(3.14024785283952)-π/2
    2×1.26250348634965-π/2
    2.5250069726993-1.57079632675     		φ = 0.95421065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26379676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.114441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95421065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.672243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60033 KachelY 41665 -0.26379676 0.95421065 -15.114441 54.672243
    Oben rechts KachelX + 1 60034 KachelY 41665 -0.26374882 0.95421065 -15.111694 54.672243
    Unten links KachelX 60033 KachelY + 1 41666 -0.26379676 0.95418293 -15.114441 54.670655
    Unten rechts KachelX + 1 60034 KachelY + 1 41666 -0.26374882 0.95418293 -15.111694 54.670655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95421065-0.95418293) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dl = 176.60412000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95421065-0.95418293) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dr = 176.60412000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26379676--0.26374882) × cos(0.95421065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578252935100385 × 6371000     		do = 176.613330610296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26379676--0.26374882) × cos(0.95418293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578275550449524 × 6371000     		du = 176.620237920042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95421065)-sin(0.95418293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578252935100385-0.578275550449524)×R²
    abs(-0.26374882--0.26379676)×2.26153491384995e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26153491384995e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26153491384995e-05×40589641000000     		ar = 31191.2517645387m²