Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60031 / 85558
↖ ↑ ↗
← S 48.089088°
W 15.119934°		 ← 203.97 m → S 48.089088°
W 15.117188°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
S 48.090923°
W 15.119934°		 ← 203.97 m →
41 610 m²		 S 48.090923°
W 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458003997802734 y=0.652759552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458003997802734 × 217)
    floor (0.458003997802734 × 131072)
    floor (60031.5)     		tx = 60031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652759552001953 × 217)
    floor (0.652759552001953 × 131072)
    floor (85558.5)     		ty = 85558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60031 / 85558 ti = "17/60031/85558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60031/85558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60031 ÷ 217
    60031 ÷ 131072     		x = 0.458000183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85558 ÷ 217
    85558 ÷ 131072     		y = 0.652755737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458000183105469 × 2 - 1) × π
    -0.0839996337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26389263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652755737304688 × 2 - 1) × π
    -0.305511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.959792604192764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26389263} λ = -0.26389263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959792604192764))-π/2
    2×atan(0.382972304589543)-π/2
    2×0.365741703476281-π/2
    0.731483406952563-1.57079632675     		φ = -0.83931292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26389263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.119934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83931292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.089088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60031 KachelY 85558 -0.26389263 -0.83931292 -15.119934 -48.089088
    Oben rechts KachelX + 1 60032 KachelY 85558 -0.26384470 -0.83931292 -15.117188 -48.089088
    Unten links KachelX 60031 KachelY + 1 85559 -0.26389263 -0.83934494 -15.119934 -48.090923
    Unten rechts KachelX + 1 60032 KachelY + 1 85559 -0.26384470 -0.83934494 -15.117188 -48.090923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83931292--0.83934494) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83931292--0.83934494) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26389263--0.26384470) × cos(-0.83931292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667974297648362 × 6371000     		do = 203.973987517853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26389263--0.26384470) × cos(-0.83934494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667950468523244 × 6371000     		du = 203.966711007834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83931292)-sin(-0.83934494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667974297648362-0.667950468523244)×R²
    abs(-0.26384470--0.26389263)×2.38291251175582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38291251175582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38291251175582e-05×40589641000000     		ar = 41609.8329503603m²