Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60027 / 59729
↖ ↑ ↗
← S 81.375303°
E149.738159°		 ← 91.60 m → S 81.375303°
E149.743652°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 81.376127°
E149.738159°		 ← 91.60 m →
8 392 m²		 S 81.376127°
E149.743652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915946960449219 y=0.911399841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915946960449219 × 216)
    floor (0.915946960449219 × 65536)
    floor (60027.5)     		tx = 60027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911399841308594 × 216)
    floor (0.911399841308594 × 65536)
    floor (59729.5)     		ty = 59729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60027 / 59729 ti = "16/60027/59729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60027/59729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60027 ÷ 216
    60027 ÷ 65536     		x = 0.915939331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59729 ÷ 216
    59729 ÷ 65536     		y = 0.911392211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915939331054688 × 2 - 1) × π
    0.831878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61342389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911392211914062 × 2 - 1) × π
    -0.822784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58485350131267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61342389} λ = 2.61342389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58485350131267))-π/2
    2×atan(0.0754071258369291)-π/2
    2×0.0752646839601045-π/2
    0.150529367920209-1.57079632675     		φ = -1.42026696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61342389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.738159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42026696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.375303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60027 KachelY 59729 2.61342389 -1.42026696 149.738159 -81.375303
    Oben rechts KachelX + 1 60028 KachelY 59729 2.61351977 -1.42026696 149.743652 -81.375303
    Unten links KachelX 60027 KachelY + 1 59730 2.61342389 -1.42028134 149.738159 -81.376127
    Unten rechts KachelX + 1 60028 KachelY + 1 59730 2.61351977 -1.42028134 149.743652 -81.376127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42026696--1.42028134) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42026696--1.42028134) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61342389-2.61351977) × cos(-1.42026696) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149961534087102 × 6371000     		do = 91.6042250401169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61342389-2.61351977) × cos(-1.42028134) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149947316683056 × 6371000     		du = 91.5955403178137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42026696)-sin(-1.42028134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149961534087102-0.149947316683056)×R²
    abs(2.61351977-2.61342389)×1.42174040459186e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42174040459186e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42174040459186e-05×40589641000000     		ar = 8391.92141977039m²