Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60027 / 41675
↖ ↑ ↗
← N 54.656358°
W 15.130920°		 ← 176.68 m → N 54.656358°
W 15.128174°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.654768°
W 15.130920°		 ← 176.69 m →
31 226 m²		 N 54.654768°
W 15.128174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457973480224609 y=0.317958831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457973480224609 × 217)
    floor (0.457973480224609 × 131072)
    floor (60027.5)     		tx = 60027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317958831787109 × 217)
    floor (0.317958831787109 × 131072)
    floor (41675.5)     		ty = 41675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60027 / 41675 ti = "17/60027/41675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60027/41675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60027 ÷ 217
    60027 ÷ 131072     		x = 0.457969665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41675 ÷ 217
    41675 ÷ 131072     		y = 0.317955017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457969665527344 × 2 - 1) × π
    -0.0840606689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26408438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317955017089844 × 2 - 1) × π
    0.364089965820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.14382236183416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26408438} λ = -0.26408438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14382236183416))-π/2
    2×atan(3.13874287612689)-π/2
    2×1.2623648609799-π/2
    2.52472972195979-1.57079632675     		φ = 0.95393340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26408438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.130920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95393340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.656358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60027 KachelY 41675 -0.26408438 0.95393340 -15.130920 54.656358
    Oben rechts KachelX + 1 60028 KachelY 41675 -0.26403644 0.95393340 -15.128174 54.656358
    Unten links KachelX 60027 KachelY + 1 41676 -0.26408438 0.95390566 -15.130920 54.654768
    Unten rechts KachelX + 1 60028 KachelY + 1 41676 -0.26403644 0.95390566 -15.128174 54.654768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95393340-0.95390566) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dl = 176.731540000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95393340-0.95390566) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dr = 176.731540000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26408438--0.26403644) × cos(0.95393340) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578479109378975 × 6371000     		do = 176.682410056703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26408438--0.26403644) × cos(0.95390566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578501736596692 × 6371000     		du = 176.689320991419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95393340)-sin(0.95390566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578479109378975-0.578501736596692)×R²
    abs(-0.26403644--0.26408438)×2.262721771773e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.262721771773e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.262721771773e-05×40589641000000     		ar = 31225.9651124752m²