Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60026 / 85923
↖ ↑ ↗
← S 48.754378°
W 15.133667°		 ← 201.36 m → S 48.754378°
W 15.130920°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 48.756188°
W 15.133667°		 ← 201.36 m →
40 539 m²		 S 48.756188°
W 15.130920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457965850830078 y=0.655544281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457965850830078 × 217)
    floor (0.457965850830078 × 131072)
    floor (60026.5)     		tx = 60026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655544281005859 × 217)
    floor (0.655544281005859 × 131072)
    floor (85923.5)     		ty = 85923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60026 / 85923 ti = "17/60026/85923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60026/85923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60026 ÷ 217
    60026 ÷ 131072     		x = 0.457962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85923 ÷ 217
    85923 ÷ 131072     		y = 0.655540466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457962036132812 × 2 - 1) × π
    -0.084075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26413232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655540466308594 × 2 - 1) × π
    -0.311080932617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.977289572554085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26413232} λ = -0.26413232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977289572554085))-π/2
    2×atan(0.376329732196763)-π/2
    2×0.359935952924547-π/2
    0.719871905849094-1.57079632675     		φ = -0.85092442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26413232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.133667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85092442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.754378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60026 KachelY 85923 -0.26413232 -0.85092442 -15.133667 -48.754378
    Oben rechts KachelX + 1 60027 KachelY 85923 -0.26408438 -0.85092442 -15.130920 -48.754378
    Unten links KachelX 60026 KachelY + 1 85924 -0.26413232 -0.85095602 -15.133667 -48.756188
    Unten rechts KachelX + 1 60027 KachelY + 1 85924 -0.26408438 -0.85095602 -15.130920 -48.756188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85092442--0.85095602) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85092442--0.85095602) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26413232--0.26408438) × cos(-0.85092442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659288365356727 × 6371000     		do = 201.363636862337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26413232--0.26408438) × cos(-0.85095602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659264605297694 × 6371000     		du = 201.356379928724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85092442)-sin(-0.85095602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659288365356727-0.659264605297694)×R²
    abs(-0.26408438--0.26413232)×2.37600590327069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37600590327069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37600590327069e-05×40589641000000     		ar = 40538.5217896928m²