Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60026 / 41674
↖ ↑ ↗
← N 54.657947°
W 15.133667°		 ← 176.68 m → N 54.657947°
W 15.130920°		 →
↑
176.67 m
↓
↑
176.67 m
↓
N 54.656358°
W 15.133667°		 ← 176.68 m →
31 213 m²		 N 54.656358°
W 15.130920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457965850830078 y=0.317951202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457965850830078 × 217)
    floor (0.457965850830078 × 131072)
    floor (60026.5)     		tx = 60026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317951202392578 × 217)
    floor (0.317951202392578 × 131072)
    floor (41674.5)     		ty = 41674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60026 / 41674 ti = "17/60026/41674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60026/41674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60026 ÷ 217
    60026 ÷ 131072     		x = 0.457962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41674 ÷ 217
    41674 ÷ 131072     		y = 0.317947387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457962036132812 × 2 - 1) × π
    -0.084075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26413232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317947387695312 × 2 - 1) × π
    0.364105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14387029873378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26413232} λ = -0.26413232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14387029873378))-π/2
    2×atan(3.13889334133547)-π/2
    2×1.26237872595641-π/2
    2.52475745191282-1.57079632675     		φ = 0.95396113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26413232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.133667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95396113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.657947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60026 KachelY 41674 -0.26413232 0.95396113 -15.133667 54.657947
    Oben rechts KachelX + 1 60027 KachelY 41674 -0.26408438 0.95396113 -15.130920 54.657947
    Unten links KachelX 60026 KachelY + 1 41675 -0.26413232 0.95393340 -15.133667 54.656358
    Unten rechts KachelX + 1 60027 KachelY + 1 41675 -0.26408438 0.95393340 -15.130920 54.656358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95396113-0.95393340) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dl = 176.667830000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95396113-0.95393340) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dr = 176.667830000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26413232--0.26408438) × cos(0.95396113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578456489873245 × 6371000     		do = 176.675501477223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26413232--0.26408438) × cos(0.95393340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578479109378975 × 6371000     		du = 176.682410056498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95396113)-sin(0.95393340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578456489873245-0.578479109378975)×R²
    abs(-0.26408438--0.26413232)×2.26195057294598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26195057294598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26195057294598e-05×40589641000000     		ar = 31213.4877239294m²