Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60025 / 85924
↖ ↑ ↗
← S 48.756188°
W 15.136413°		 ← 201.31 m → S 48.756188°
W 15.133667°		 →
↑
201.39 m
↓
↑
201.39 m
↓
S 48.758000°
W 15.136413°		 ← 201.31 m →
40 541 m²		 S 48.758000°
W 15.133667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457958221435547 y=0.655551910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457958221435547 × 217)
    floor (0.457958221435547 × 131072)
    floor (60025.5)     		tx = 60025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655551910400391 × 217)
    floor (0.655551910400391 × 131072)
    floor (85924.5)     		ty = 85924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60025 / 85924 ti = "17/60025/85924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60025/85924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60025 ÷ 217
    60025 ÷ 131072     		x = 0.457954406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85924 ÷ 217
    85924 ÷ 131072     		y = 0.655548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457954406738281 × 2 - 1) × π
    -0.0840911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26418025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.31109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977337509453705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26418025} λ = -0.26418025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977337509453705))-π/2
    2×atan(0.376311692548552)-π/2
    2×0.359920151089248-π/2
    0.719840302178496-1.57079632675     		φ = -0.85095602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26418025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.136413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85095602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.756188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60025 KachelY 85924 -0.26418025 -0.85095602 -15.136413 -48.756188
    Oben rechts KachelX + 1 60026 KachelY 85924 -0.26413232 -0.85095602 -15.133667 -48.756188
    Unten links KachelX 60025 KachelY + 1 85925 -0.26418025 -0.85098763 -15.136413 -48.758000
    Unten rechts KachelX + 1 60026 KachelY + 1 85925 -0.26413232 -0.85098763 -15.133667 -48.758000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85095602--0.85098763) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dl = 201.387309999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85095602--0.85098763) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dr = 201.387309999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26418025--0.26413232) × cos(-0.85095602) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659264605297694 × 6371000     		do = 201.314378180976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26418025--0.26413232) × cos(-0.85098763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659240837061028 × 6371000     		du = 201.307120263978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85095602)-sin(-0.85098763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659264605297694-0.659240837061028)×R²
    abs(-0.26413232--0.26418025)×2.37682366664993e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37682366664993e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37682366664993e-05×40589641000000     		ar = 40541.4302631962m²