Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60025 / 59730
↖ ↑ ↗
← S 81.376127°
E149.727173°		 ← 91.59 m → S 81.376127°
E149.732666°		 →
↑
91.55 m
↓
↑
91.55 m
↓
S 81.376950°
E149.727173°		 ← 91.58 m →
8 384 m²		 S 81.376950°
E149.732666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915916442871094 y=0.911415100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915916442871094 × 216)
    floor (0.915916442871094 × 65536)
    floor (60025.5)     		tx = 60025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911415100097656 × 216)
    floor (0.911415100097656 × 65536)
    floor (59730.5)     		ty = 59730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60025 / 59730 ti = "16/60025/59730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60025/59730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60025 ÷ 216
    60025 ÷ 65536     		x = 0.915908813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59730 ÷ 216
    59730 ÷ 65536     		y = 0.911407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915908813476562 × 2 - 1) × π
    0.831817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61323215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.82281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58494937511191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61323215} λ = 2.61323215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58494937511191))-π/2
    2×atan(0.0753998966158373)-π/2
    2×0.075257495609741-π/2
    0.150514991219482-1.57079632675     		φ = -1.42028134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61323215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.727173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42028134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.376127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60025 KachelY 59730 2.61323215 -1.42028134 149.727173 -81.376127
    Oben rechts KachelX + 1 60026 KachelY 59730 2.61332802 -1.42028134 149.732666 -81.376127
    Unten links KachelX 60025 KachelY + 1 59731 2.61323215 -1.42029571 149.727173 -81.376950
    Unten rechts KachelX + 1 60026 KachelY + 1 59731 2.61332802 -1.42029571 149.732666 -81.376950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42028134--1.42029571) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dl = 91.5512699995558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42028134--1.42029571) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dr = 91.5512699995558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61323215-2.61332802) × cos(-1.42028134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149947316683056 × 6371000     		do = 91.5859871743259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61323215-2.61332802) × cos(-1.42029571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149933109134965 × 6371000     		du = 91.5773093777101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42028134)-sin(-1.42029571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149947316683056-0.149933109134965)×R²
    abs(2.61332802-2.61323215)×1.42075480911164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42075480911164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42075480911164e-05×40589641000000     		ar = 8384.41620881842m²