Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60024 / 41624
↖ ↑ ↗
← N 54.737308°
W 15.139160°		 ← 176.33 m → N 54.737308°
W 15.136413°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
N 54.735722°
W 15.139160°		 ← 176.34 m →
31 085 m²		 N 54.735722°
W 15.136413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457950592041016 y=0.317569732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457950592041016 × 217)
    floor (0.457950592041016 × 131072)
    floor (60024.5)     		tx = 60024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317569732666016 × 217)
    floor (0.317569732666016 × 131072)
    floor (41624.5)     		ty = 41624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60024 / 41624 ti = "17/60024/41624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60024/41624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60024 ÷ 217
    60024 ÷ 131072     		x = 0.45794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41624 ÷ 217
    41624 ÷ 131072     		y = 0.31756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.0841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26422819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31756591796875 × 2 - 1) × π
    0.3648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14626714371478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26422819} λ = -0.26422819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14626714371478))-π/2
    2×atan(3.146425805555)-π/2
    2×1.26307128376293-π/2
    2.52614256752587-1.57079632675     		φ = 0.95534624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26422819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.139160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95534624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.737308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60024 KachelY 41624 -0.26422819 0.95534624 -15.139160 54.737308
    Oben rechts KachelX + 1 60025 KachelY 41624 -0.26418025 0.95534624 -15.136413 54.737308
    Unten links KachelX 60024 KachelY + 1 41625 -0.26422819 0.95531857 -15.139160 54.735722
    Unten rechts KachelX + 1 60025 KachelY + 1 41625 -0.26418025 0.95531857 -15.136413 54.735722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95534624-0.95531857) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dl = 176.285570000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95534624-0.95531857) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dr = 176.285570000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26422819--0.26418025) × cos(0.95534624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577326082776271 × 6371000     		do = 176.330246053128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26422819--0.26418025) × cos(0.95531857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577348675488861 × 6371000     		du = 176.33714644909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95534624)-sin(0.95531857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577326082776271-0.577348675488861)×R²
    abs(-0.26418025--0.26422819)×2.25927125905301e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25927125905301e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25927125905301e-05×40589641000000     		ar = 31085.0861557895m²