Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60022 / 31170
↖ ↑ ↗
← N 68.202173°
W 15.144653°		 ← 113.39 m → N 68.202173°
W 15.141907°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 68.201153°
W 15.144653°		 ← 113.40 m →
12 859 m²		 N 68.201153°
W 15.141907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457935333251953 y=0.237812042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457935333251953 × 217)
    floor (0.457935333251953 × 131072)
    floor (60022.5)     		tx = 60022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237812042236328 × 217)
    floor (0.237812042236328 × 131072)
    floor (31170.5)     		ty = 31170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60022 / 31170 ti = "17/60022/31170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60022/31170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60022 ÷ 217
    60022 ÷ 131072     		x = 0.457931518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31170 ÷ 217
    31170 ÷ 131072     		y = 0.237808227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457931518554688 × 2 - 1) × π
    -0.084136962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26432406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237808227539062 × 2 - 1) × π
    0.524383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64739949234285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26432406} λ = -0.26432406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64739949234285))-π/2
    2×atan(5.19345662748187)-π/2
    2×1.38057439685784-π/2
    2.76114879371568-1.57079632675     		φ = 1.19035247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26432406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.144653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19035247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.202173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60022 KachelY 31170 -0.26432406 1.19035247 -15.144653 68.202173
    Oben rechts KachelX + 1 60023 KachelY 31170 -0.26427613 1.19035247 -15.141907 68.202173
    Unten links KachelX 60022 KachelY + 1 31171 -0.26432406 1.19033467 -15.144653 68.201153
    Unten rechts KachelX + 1 60023 KachelY + 1 31171 -0.26427613 1.19033467 -15.141907 68.201153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19035247-1.19033467) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dl = 113.403800001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19035247-1.19033467) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dr = 113.403800001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26432406--0.26427613) × cos(1.19035247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371332626970821 × 6371000     		do = 113.390884777112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26432406--0.26427613) × cos(1.19033467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371349154210366 × 6371000     		du = 113.39593156853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19035247)-sin(1.19033467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371332626970821-0.371349154210366)×R²
    abs(-0.26427613--0.26432406)×1.65272395447058e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65272395447058e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65272395447058e-05×40589641000000     		ar = 12859.243382162m²