Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60021 / 82659
↖ ↑ ↗
← S 42.494378°
W 15.147400°		 ← 225.20 m → S 42.494378°
W 15.144653°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
S 42.496403°
W 15.147400°		 ← 225.20 m →
50 704 m²		 S 42.496403°
W 15.144653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457927703857422 y=0.630641937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457927703857422 × 217)
    floor (0.457927703857422 × 131072)
    floor (60021.5)     		tx = 60021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630641937255859 × 217)
    floor (0.630641937255859 × 131072)
    floor (82659.5)     		ty = 82659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60021 / 82659 ti = "17/60021/82659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60021/82659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60021 ÷ 217
    60021 ÷ 131072     		x = 0.457923889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82659 ÷ 217
    82659 ÷ 131072     		y = 0.630638122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457923889160156 × 2 - 1) × π
    -0.0841522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26437200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630638122558594 × 2 - 1) × π
    -0.261276245117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.820823532194222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26437200} λ = -0.26437200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820823532194222))-π/2
    2×atan(0.440069094169705)-π/2
    2×0.414564760316872-π/2
    0.829129520633745-1.57079632675     		φ = -0.74166681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26437200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.147400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74166681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.494378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60021 KachelY 82659 -0.26437200 -0.74166681 -15.147400 -42.494378
    Oben rechts KachelX + 1 60022 KachelY 82659 -0.26432406 -0.74166681 -15.144653 -42.494378
    Unten links KachelX 60021 KachelY + 1 82660 -0.26437200 -0.74170215 -15.147400 -42.496403
    Unten rechts KachelX + 1 60022 KachelY + 1 82660 -0.26432406 -0.74170215 -15.144653 -42.496403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74166681--0.74170215) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74166681--0.74170215) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26437200--0.26432406) × cos(-0.74166681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737343623589067 × 6371000     		do = 225.203721868825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26437200--0.26432406) × cos(-0.74170215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737319750327418 × 6371000     		du = 225.196430360219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74166681)-sin(-0.74170215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737343623589067-0.737319750327418)×R²
    abs(-0.26432406--0.26437200)×2.38732616485438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38732616485438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38732616485438e-05×40589641000000     		ar = 50704.0538703303m²