Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60021 / 58983
↖ ↑ ↗
← S 80.738539°
E149.705200°		 ← 98.30 m → S 80.738539°
E149.710693°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
S 80.739423°
E149.705200°		 ← 98.29 m →
9 663 m²		 S 80.739423°
E149.710693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915855407714844 y=0.900016784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915855407714844 × 216)
    floor (0.915855407714844 × 65536)
    floor (60021.5)     		tx = 60021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900016784667969 × 216)
    floor (0.900016784667969 × 65536)
    floor (58983.5)     		ty = 58983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60021 / 58983 ti = "16/60021/58983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60021/58983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60021 ÷ 216
    60021 ÷ 65536     		x = 0.915847778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58983 ÷ 216
    58983 ÷ 65536     		y = 0.900009155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915847778320312 × 2 - 1) × π
    0.831695556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61284865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900009155273438 × 2 - 1) × π
    -0.800018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51333164707954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61284865} λ = 2.61284865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51333164707954))-π/2
    2×atan(0.0809979326820244)-π/2
    2×0.0808214932622999-π/2
    0.1616429865246-1.57079632675     		φ = -1.40915334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61284865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.705200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40915334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.738539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60021 KachelY 58983 2.61284865 -1.40915334 149.705200 -80.738539
    Oben rechts KachelX + 1 60022 KachelY 58983 2.61294452 -1.40915334 149.710693 -80.738539
    Unten links KachelX 60021 KachelY + 1 58984 2.61284865 -1.40916877 149.705200 -80.739423
    Unten rechts KachelX + 1 60022 KachelY + 1 58984 2.61294452 -1.40916877 149.710693 -80.739423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40915334--1.40916877) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dl = 98.3045299995378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40915334--1.40916877) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dr = 98.3045299995378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61284865-2.61294452) × cos(-1.40915334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160939992242472 × 6371000     		do = 98.3001789655947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61284865-2.61294452) × cos(-1.40916877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160924763365811 × 6371000     		du = 98.2908773539793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40915334)-sin(-1.40916877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160939992242472-0.160924763365811)×R²
    abs(2.61294452-2.61284865)×1.52288766609721e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52288766609721e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52288766609721e-05×40589641000000     		ar = 9662.89569707061m²