Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60019 / 41658
↖ ↑ ↗
← N 54.683359°
W 15.152893°		 ← 176.56 m → N 54.683359°
W 15.150147°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
N 54.681771°
W 15.152893°		 ← 176.57 m →
31 183 m²		 N 54.681771°
W 15.150147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457912445068359 y=0.317829132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457912445068359 × 217)
    floor (0.457912445068359 × 131072)
    floor (60019.5)     		tx = 60019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317829132080078 × 217)
    floor (0.317829132080078 × 131072)
    floor (41658.5)     		ty = 41658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60019 / 41658 ti = "17/60019/41658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60019/41658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60019 ÷ 217
    60019 ÷ 131072     		x = 0.457908630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41658 ÷ 217
    41658 ÷ 131072     		y = 0.317825317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457908630371094 × 2 - 1) × π
    -0.0841827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26446788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317825317382812 × 2 - 1) × π
    0.364349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1446372891277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26446788} λ = -0.26446788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1446372891277))-π/2
    2×atan(3.14130176587699)-π/2
    2×1.26260049185567-π/2
    2.52520098371134-1.57079632675     		φ = 0.95440466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26446788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.152893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95440466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.683359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60019 KachelY 41658 -0.26446788 0.95440466 -15.152893 54.683359
    Oben rechts KachelX + 1 60020 KachelY 41658 -0.26441994 0.95440466 -15.150147 54.683359
    Unten links KachelX 60019 KachelY + 1 41659 -0.26446788 0.95437694 -15.152893 54.681771
    Unten rechts KachelX + 1 60020 KachelY + 1 41659 -0.26441994 0.95437694 -15.150147 54.681771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95440466-0.95437694) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dl = 176.60412000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95440466-0.95437694) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dr = 176.60412000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26446788--0.26441994) × cos(0.95440466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57809463969528 × 6371000     		do = 176.564983118848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26446788--0.26441994) × cos(0.95437694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578117258153873 × 6371000     		du = 176.571891378302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95440466)-sin(0.95437694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57809463969528-0.578117258153873)×R²
    abs(-0.26441994--0.26446788)×2.26184585931932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26184585931932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26184585931932e-05×40589641000000     		ar = 31182.713482098m²