Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60018 / 59726
↖ ↑ ↗
← S 81.372831°
E149.688721°		 ← 91.62 m → S 81.372831°
E149.694214°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 81.373655°
E149.688721°		 ← 91.61 m →
8 393 m²		 S 81.373655°
E149.694214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915809631347656 y=0.911354064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915809631347656 × 216)
    floor (0.915809631347656 × 65536)
    floor (60018.5)     		tx = 60018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911354064941406 × 216)
    floor (0.911354064941406 × 65536)
    floor (59726.5)     		ty = 59726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60018 / 59726 ti = "16/60018/59726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60018/59726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60018 ÷ 216
    60018 ÷ 65536     		x = 0.915802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59726 ÷ 216
    59726 ÷ 65536     		y = 0.911346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915802001953125 × 2 - 1) × π
    0.83160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61256103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.82269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58456587991495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61256103} λ = 2.61256103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58456587991495))-π/2
    2×atan(0.075428817659227)-π/2
    2×0.0752862530999283-π/2
    0.150572506199857-1.57079632675     		φ = -1.42022382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61256103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.688721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42022382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.372831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60018 KachelY 59726 2.61256103 -1.42022382 149.688721 -81.372831
    Oben rechts KachelX + 1 60019 KachelY 59726 2.61265690 -1.42022382 149.694214 -81.372831
    Unten links KachelX 60018 KachelY + 1 59727 2.61256103 -1.42023820 149.688721 -81.373655
    Unten rechts KachelX + 1 60019 KachelY + 1 59727 2.61265690 -1.42023820 149.694214 -81.373655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42022382--1.42023820) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42022382--1.42023820) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61256103-2.61265690) × cos(-1.42022382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15000418611317 × 6371000     		do = 91.6207223267261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61256103-2.61265690) × cos(-1.42023820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149989968802162 × 6371000     		du = 91.6120385670401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42022382)-sin(-1.42023820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15000418611317-0.149989968802162)×R²
    abs(2.61265690-2.61256103)×1.42173110079802e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42173110079802e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42173110079802e-05×40589641000000     		ar = 8393.43286253373m²