Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60018 / 41657
↖ ↑ ↗
← N 54.684947°
W 15.155640°		 ← 176.52 m → N 54.684947°
W 15.152893°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
N 54.683359°
W 15.155640°		 ← 176.53 m →
31 164 m²		 N 54.683359°
W 15.152893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457904815673828 y=0.317821502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457904815673828 × 217)
    floor (0.457904815673828 × 131072)
    floor (60018.5)     		tx = 60018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317821502685547 × 217)
    floor (0.317821502685547 × 131072)
    floor (41657.5)     		ty = 41657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60018 / 41657 ti = "17/60018/41657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60018/41657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60018 ÷ 217
    60018 ÷ 131072     		x = 0.457901000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41657 ÷ 217
    41657 ÷ 131072     		y = 0.317817687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457901000976562 × 2 - 1) × π
    -0.084197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26451581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317817687988281 × 2 - 1) × π
    0.364364624023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.14468522602732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26451581} λ = -0.26451581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14468522602732))-π/2
    2×atan(3.14145235375374)-π/2
    2×1.2626143476171-π/2
    2.5252286952342-1.57079632675     		φ = 0.95443237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26451581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.155640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95443237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.684947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60018 KachelY 41657 -0.26451581 0.95443237 -15.155640 54.684947
    Oben rechts KachelX + 1 60019 KachelY 41657 -0.26446788 0.95443237 -15.152893 54.684947
    Unten links KachelX 60018 KachelY + 1 41658 -0.26451581 0.95440466 -15.155640 54.683359
    Unten rechts KachelX + 1 60019 KachelY + 1 41658 -0.26446788 0.95440466 -15.152893 54.683359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95443237-0.95440466) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dl = 176.54041000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95443237-0.95440466) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dr = 176.54041000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26451581--0.26446788) × cos(0.95443237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578072028952337 × 6371000     		do = 176.521248247212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26451581--0.26446788) × cos(0.95440466) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57809463969528 × 6371000     		du = 176.528152709577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95443237)-sin(0.95440466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578072028952337-0.57809463969528)×R²
    abs(-0.26446788--0.26451581)×2.26107429426303e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26107429426303e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26107429426303e-05×40589641000000     		ar = 31163.7429997127m²