Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60016 / 41550
↖ ↑ ↗
← N 54.854477°
W 15.161133°		 ← 175.82 m → N 54.854477°
W 15.158386°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
N 54.852897°
W 15.161133°		 ← 175.83 m →
30 906 m²		 N 54.852897°
W 15.158386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457889556884766 y=0.317005157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457889556884766 × 217)
    floor (0.457889556884766 × 131072)
    floor (60016.5)     		tx = 60016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317005157470703 × 217)
    floor (0.317005157470703 × 131072)
    floor (41550.5)     		ty = 41550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60016 / 41550 ti = "17/60016/41550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60016/41550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60016 ÷ 217
    60016 ÷ 131072     		x = 0.4578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41550 ÷ 217
    41550 ÷ 131072     		y = 0.317001342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26461169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317001342773438 × 2 - 1) × π
    0.365997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14981447428667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26461169} λ = -0.26461169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14981447428667))-π/2
    2×atan(3.15760703804616)-π/2
    2×1.26409378475607-π/2
    2.52818756951214-1.57079632675     		φ = 0.95739124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26461169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95739124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.854477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60016 KachelY 41550 -0.26461169 0.95739124 -15.161133 54.854477
    Oben rechts KachelX + 1 60017 KachelY 41550 -0.26456375 0.95739124 -15.158386 54.854477
    Unten links KachelX 60016 KachelY + 1 41551 -0.26461169 0.95736365 -15.161133 54.852897
    Unten rechts KachelX + 1 60017 KachelY + 1 41551 -0.26456375 0.95736365 -15.158386 54.852897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95739124-0.95736365) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95739124-0.95736365) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26461169--0.26456375) × cos(0.95739124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575655106263214 × 6371000     		do = 175.819886815309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26461169--0.26456375) × cos(0.95736365) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575677666183126 × 6371000     		du = 175.826777195542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95739124)-sin(0.95736365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575655106263214-0.575677666183126)×R²
    abs(-0.26456375--0.26461169)×2.25599199121795e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25599199121795e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25599199121795e-05×40589641000000     		ar = 30905.5026678148m²