Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60015 / 41617
↖ ↑ ↗
← N 54.748406°
W 15.163879°		 ← 176.25 m → N 54.748406°
W 15.161133°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
N 54.746820°
W 15.163879°		 ← 176.25 m →
31 070 m²		 N 54.746820°
W 15.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457881927490234 y=0.317516326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457881927490234 × 217)
    floor (0.457881927490234 × 131072)
    floor (60015.5)     		tx = 60015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317516326904297 × 217)
    floor (0.317516326904297 × 131072)
    floor (41617.5)     		ty = 41617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60015 / 41617 ti = "17/60015/41617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60015/41617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60015 ÷ 217
    60015 ÷ 131072     		x = 0.457878112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41617 ÷ 217
    41617 ÷ 131072     		y = 0.317512512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457878112792969 × 2 - 1) × π
    -0.0842437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26465962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317512512207031 × 2 - 1) × π
    0.364974975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14660270201212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26465962} λ = -0.26465962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14660270201212))-π/2
    2×atan(3.14748179200361)-π/2
    2×1.26316813377243-π/2
    2.52633626754486-1.57079632675     		φ = 0.95553994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26465962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.163879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95553994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.748406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60015 KachelY 41617 -0.26465962 0.95553994 -15.163879 54.748406
    Oben rechts KachelX + 1 60016 KachelY 41617 -0.26461169 0.95553994 -15.161133 54.748406
    Unten links KachelX 60015 KachelY + 1 41618 -0.26465962 0.95551227 -15.163879 54.746820
    Unten rechts KachelX + 1 60016 KachelY + 1 41618 -0.26461169 0.95551227 -15.161133 54.746820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95553994-0.95551227) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dl = 176.285569999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95553994-0.95551227) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dr = 176.285569999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26465962--0.26461169) × cos(0.95553994) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.57716791324636 × 6371000     		do = 176.245165639676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26465962--0.26461169) × cos(0.95551227) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.57719050905287 × 6371000     		du = 176.252065541021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95553994)-sin(0.95551227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57716791324636-0.57719050905287)×R²
    abs(-0.26461169--0.26465962)×2.2595806509651e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2595806509651e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2595806509651e-05×40589641000000     		ar = 31070.0876630955m²