Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60015 / 31163
↖ ↑ ↗
← N 68.209311°
W 15.163879°		 ← 113.36 m → N 68.209311°
W 15.161133°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 68.208291°
W 15.163879°		 ← 113.36 m →
12 848 m²		 N 68.208291°
W 15.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457881927490234 y=0.237758636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457881927490234 × 217)
    floor (0.457881927490234 × 131072)
    floor (60015.5)     		tx = 60015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237758636474609 × 217)
    floor (0.237758636474609 × 131072)
    floor (31163.5)     		ty = 31163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60015 / 31163 ti = "17/60015/31163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60015/31163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60015 ÷ 217
    60015 ÷ 131072     		x = 0.457878112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31163 ÷ 217
    31163 ÷ 131072     		y = 0.237754821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457878112792969 × 2 - 1) × π
    -0.0842437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26465962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237754821777344 × 2 - 1) × π
    0.524490356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.64773505064019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26465962} λ = -0.26465962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64773505064019))-π/2
    2×atan(5.19519962736778)-π/2
    2×1.38063668902563-π/2
    2.76127337805125-1.57079632675     		φ = 1.19047705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26465962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.163879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19047705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.209311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60015 KachelY 31163 -0.26465962 1.19047705 -15.163879 68.209311
    Oben rechts KachelX + 1 60016 KachelY 31163 -0.26461169 1.19047705 -15.161133 68.209311
    Unten links KachelX 60015 KachelY + 1 31164 -0.26465962 1.19045926 -15.163879 68.208291
    Unten rechts KachelX + 1 60016 KachelY + 1 31164 -0.26461169 1.19045926 -15.161133 68.208291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19047705-1.19045926) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19047705-1.19045926) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26465962--0.26461169) × cos(1.19047705) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.371216951570942 × 6371000     		do = 113.355561902053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26465962--0.26461169) × cos(1.19045926) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.37123347034842 × 6371000     		du = 113.360606109476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19047705)-sin(1.19045926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371216951570942-0.37123347034842)×R²
    abs(-0.26461169--0.26465962)×1.65187774780473e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65187774780473e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65187774780473e-05×40589641000000     		ar = 12848.0154436972m²