Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60014 / 58988
↖ ↑ ↗
← S 80.742958°
E149.666748°		 ← 98.26 m → S 80.742958°
E149.672241°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 80.743842°
E149.666748°		 ← 98.25 m →
9 653 m²		 S 80.743842°
E149.672241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915748596191406 y=0.900093078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915748596191406 × 216)
    floor (0.915748596191406 × 65536)
    floor (60014.5)     		tx = 60014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900093078613281 × 216)
    floor (0.900093078613281 × 65536)
    floor (58988.5)     		ty = 58988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60014 / 58988 ti = "16/60014/58988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60014/58988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60014 ÷ 216
    60014 ÷ 65536     		x = 0.915740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58988 ÷ 216
    58988 ÷ 65536     		y = 0.90008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915740966796875 × 2 - 1) × π
    0.83148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61217753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.8001708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51381101607574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61217753} λ = 2.61217753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51381101607574))-π/2
    2×atan(0.0809591140892986)-π/2
    2×0.0807829275649587-π/2
    0.161565855129917-1.57079632675     		φ = -1.40923047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61217753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.666748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40923047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.742958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60014 KachelY 58988 2.61217753 -1.40923047 149.666748 -80.742958
    Oben rechts KachelX + 1 60015 KachelY 58988 2.61227341 -1.40923047 149.672241 -80.742958
    Unten links KachelX 60014 KachelY + 1 58989 2.61217753 -1.40924589 149.666748 -80.743842
    Unten rechts KachelX + 1 60015 KachelY + 1 58989 2.61227341 -1.40924589 149.672241 -80.743842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40923047--1.40924589) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40923047--1.40924589) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61217753-2.61227341) × cos(-1.40923047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160863867215598 × 6371000     		do = 98.2639313671069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61217753-2.61227341) × cos(-1.40924589) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160848648017245 × 6371000     		du = 98.2546346972686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40923047)-sin(-1.40924589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160863867215598-0.160848648017245)×R²
    abs(2.61227341-2.61217753)×1.52191983530392e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52191983530392e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52191983530392e-05×40589641000000     		ar = 9653.07253786293m²