Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60013 / 59627
↖ ↑ ↗
← S 81.290871°
E149.661255°		 ← 92.48 m → S 81.290871°
E149.666748°		 →
↑
92.51 m
↓
↑
92.51 m
↓
S 81.291703°
E149.661255°		 ← 92.48 m →
8 555 m²		 S 81.291703°
E149.666748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915733337402344 y=0.909843444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915733337402344 × 216)
    floor (0.915733337402344 × 65536)
    floor (60013.5)     		tx = 60013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909843444824219 × 216)
    floor (0.909843444824219 × 65536)
    floor (59627.5)     		ty = 59627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60013 / 59627 ti = "16/60013/59627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60013/59627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60013 ÷ 216
    60013 ÷ 65536     		x = 0.915725708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59627 ÷ 216
    59627 ÷ 65536     		y = 0.909835815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915725708007812 × 2 - 1) × π
    0.831451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61208166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909835815429688 × 2 - 1) × π
    -0.819671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57507437379018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61208166} λ = 2.61208166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57507437379018))-π/2
    2×atan(0.0761481591607881)-π/2
    2×0.0760014863467-π/2
    0.1520029726934-1.57079632675     		φ = -1.41879335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61208166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.661255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41879335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.290871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60013 KachelY 59627 2.61208166 -1.41879335 149.661255 -81.290871
    Oben rechts KachelX + 1 60014 KachelY 59627 2.61217753 -1.41879335 149.666748 -81.290871
    Unten links KachelX 60013 KachelY + 1 59628 2.61208166 -1.41880787 149.661255 -81.291703
    Unten rechts KachelX + 1 60014 KachelY + 1 59628 2.61217753 -1.41880787 149.666748 -81.291703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41879335--1.41880787) × R
    1.45199999999068e-05 × 6371000     		dl = 92.5069199994064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41879335--1.41880787) × R
    1.45199999999068e-05 × 6371000     		dr = 92.5069199994064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61208166-2.61217753) × cos(-1.41879335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151418316907393 × 6371000     		do = 92.4844561210179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61208166-2.61217753) × cos(-1.41880787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151403964310319 × 6371000     		du = 92.4756897302575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41879335)-sin(-1.41880787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151418316907393-0.151403964310319)×R²
    abs(2.61217753-2.61208166)×1.43525970737468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43525970737468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43525970737468e-05×40589641000000     		ar = 8555.04670789685m²