Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60012 / 58987
↖ ↑ ↗
← S 80.742075°
E149.655762°		 ← 98.26 m → S 80.742075°
E149.661255°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 80.742958°
E149.655762°		 ← 98.25 m →
9 653 m²		 S 80.742958°
E149.661255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915718078613281 y=0.900077819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915718078613281 × 216)
    floor (0.915718078613281 × 65536)
    floor (60012.5)     		tx = 60012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900077819824219 × 216)
    floor (0.900077819824219 × 65536)
    floor (58987.5)     		ty = 58987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60012 / 58987 ti = "16/60012/58987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60012/58987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60012 ÷ 216
    60012 ÷ 65536     		x = 0.91571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58987 ÷ 216
    58987 ÷ 65536     		y = 0.900070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91571044921875 × 2 - 1) × π
    0.8314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61198579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900070190429688 × 2 - 1) × π
    -0.800140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5137151422765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61198579} λ = 2.61198579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5137151422765))-π/2
    2×atan(0.0809668763192407)-π/2
    2×0.0807906392447886-π/2
    0.161581278489577-1.57079632675     		φ = -1.40921505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61198579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40921505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.742075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60012 KachelY 58987 2.61198579 -1.40921505 149.655762 -80.742075
    Oben rechts KachelX + 1 60013 KachelY 58987 2.61208166 -1.40921505 149.661255 -80.742075
    Unten links KachelX 60012 KachelY + 1 58988 2.61198579 -1.40923047 149.655762 -80.742958
    Unten rechts KachelX + 1 60013 KachelY + 1 58988 2.61208166 -1.40923047 149.661255 -80.742958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40921505--1.40923047) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40921505--1.40923047) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61198579-2.61208166) × cos(-1.40921505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160879086375701 × 6371000     		do = 98.2629784070498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61198579-2.61208166) × cos(-1.40923047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160863867215598 × 6371000     		du = 98.2536827301889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40921505)-sin(-1.40923047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160879086375701-0.160863867215598)×R²
    abs(2.61208166-2.61198579)×1.52191601034413e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52191601034413e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52191601034413e-05×40589641000000     		ar = 9652.97896696911m²