Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60012 / 41549
↖ ↑ ↗
← N 54.856059°
W 15.172119°		 ← 175.78 m → N 54.856059°
W 15.169373°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
N 54.854477°
W 15.172119°		 ← 175.78 m →
30 909 m²		 N 54.854477°
W 15.169373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457859039306641 y=0.316997528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457859039306641 × 217)
    floor (0.457859039306641 × 131072)
    floor (60012.5)     		tx = 60012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316997528076172 × 217)
    floor (0.316997528076172 × 131072)
    floor (41549.5)     		ty = 41549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60012 / 41549 ti = "17/60012/41549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60012/41549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60012 ÷ 217
    60012 ÷ 131072     		x = 0.457855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41549 ÷ 217
    41549 ÷ 131072     		y = 0.316993713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.08428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26480343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316993713378906 × 2 - 1) × π
    0.366012573242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.14986241118629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26480343} λ = -0.26480343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14986241118629))-π/2
    2×atan(3.15775840756585)-π/2
    2×1.26410758204613-π/2
    2.52821516409225-1.57079632675     		φ = 0.95741884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26480343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.172119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95741884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.856059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60012 KachelY 41549 -0.26480343 0.95741884 -15.172119 54.856059
    Oben rechts KachelX + 1 60013 KachelY 41549 -0.26475550 0.95741884 -15.169373 54.856059
    Unten links KachelX 60012 KachelY + 1 41550 -0.26480343 0.95739124 -15.172119 54.854477
    Unten rechts KachelX + 1 60013 KachelY + 1 41550 -0.26475550 0.95739124 -15.169373 54.854477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95741884-0.95739124) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95741884-0.95739124) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26480343--0.26475550) × cos(0.95741884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.575632537728023 × 6371000     		do = 175.776320254788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26480343--0.26475550) × cos(0.95739124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.575655106263214 × 6371000     		du = 175.783211828508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95741884)-sin(0.95739124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575632537728023-0.575655106263214)×R²
    abs(-0.26475550--0.26480343)×2.25685351905591e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25685351905591e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25685351905591e-05×40589641000000     		ar = 30909.0437509056m²