Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60011 / 41622
↖ ↑ ↗
← N 54.740479°
W 15.174866°		 ← 176.32 m → N 54.740479°
W 15.172119°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
N 54.738893°
W 15.174866°		 ← 176.32 m →
31 083 m²		 N 54.738893°
W 15.172119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457851409912109 y=0.317554473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457851409912109 × 217)
    floor (0.457851409912109 × 131072)
    floor (60011.5)     		tx = 60011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317554473876953 × 217)
    floor (0.317554473876953 × 131072)
    floor (41622.5)     		ty = 41622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60011 / 41622 ti = "17/60011/41622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60011/41622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60011 ÷ 217
    60011 ÷ 131072     		x = 0.457847595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41622 ÷ 217
    41622 ÷ 131072     		y = 0.317550659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457847595214844 × 2 - 1) × π
    -0.0843048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26485137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317550659179688 × 2 - 1) × π
    0.364898681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14636301751402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26485137} λ = -0.26485137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14636301751402))-π/2
    2×atan(3.1467274798121)-π/2
    2×1.26309895790216-π/2
    2.52619791580432-1.57079632675     		φ = 0.95540159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26485137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.174866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95540159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.740479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60011 KachelY 41622 -0.26485137 0.95540159 -15.174866 54.740479
    Oben rechts KachelX + 1 60012 KachelY 41622 -0.26480343 0.95540159 -15.172119 54.740479
    Unten links KachelX 60011 KachelY + 1 41623 -0.26485137 0.95537392 -15.174866 54.738893
    Unten rechts KachelX + 1 60012 KachelY + 1 41623 -0.26480343 0.95537392 -15.172119 54.738893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95540159-0.95537392) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dl = 176.285570000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95540159-0.95537392) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dr = 176.285570000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26485137--0.26480343) × cos(0.95540159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577280887859598 × 6371000     		do = 176.316442362259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26485137--0.26480343) × cos(0.95537392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577303481456366 × 6371000     		du = 176.323343028271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95540159)-sin(0.95537392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577280887859598-0.577303481456366)×R²
    abs(-0.26480343--0.26485137)×2.25935967680391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25935967680391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25935967680391e-05×40589641000000     		ar = 31082.6527882735m²