Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60010 / 59750
↖ ↑ ↗
← S 81.392584°
E149.644775°		 ← 91.41 m → S 81.392584°
E149.650268°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
S 81.393406°
E149.644775°		 ← 91.40 m →
8 357 m²		 S 81.393406°
E149.650268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915687561035156 y=0.911720275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915687561035156 × 216)
    floor (0.915687561035156 × 65536)
    floor (60010.5)     		tx = 60010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911720275878906 × 216)
    floor (0.911720275878906 × 65536)
    floor (59750.5)     		ty = 59750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60010 / 59750 ti = "16/60010/59750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60010/59750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60010 ÷ 216
    60010 ÷ 65536     		x = 0.915679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59750 ÷ 216
    59750 ÷ 65536     		y = 0.911712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915679931640625 × 2 - 1) × π
    0.83135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61179404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.82342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58686685109671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61179404} λ = 2.61179404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58686685109671))-π/2
    2×atan(0.0752554576482008)-π/2
    2×0.0751138716021579-π/2
    0.150227743204316-1.57079632675     		φ = -1.42056858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61179404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.644775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42056858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.392584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60010 KachelY 59750 2.61179404 -1.42056858 149.644775 -81.392584
    Oben rechts KachelX + 1 60011 KachelY 59750 2.61188991 -1.42056858 149.650268 -81.392584
    Unten links KachelX 60010 KachelY + 1 59751 2.61179404 -1.42058293 149.644775 -81.393406
    Unten rechts KachelX + 1 60011 KachelY + 1 59751 2.61188991 -1.42058293 149.650268 -81.393406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42056858--1.42058293) × R
    1.43499999998298e-05 × 6371000     		dl = 91.4238499989155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42056858--1.42058293) × R
    1.43499999998298e-05 × 6371000     		dr = 91.4238499989155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61179404-2.61188991) × cos(-1.42056858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149663318039965 × 6371000     		do = 91.4125242764292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61179404-2.61188991) × cos(-1.42058293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149649129648345 × 6371000     		du = 91.4038581803514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42056858)-sin(-1.42058293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149663318039965-0.149649129648345)×R²
    abs(2.61188991-2.61179404)×1.41883916205676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41883916205676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41883916205676e-05×40589641000000     		ar = 8356.88876405616m²