Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60009 / 59736
↖ ↑ ↗
← S 81.381067°
E149.639283°		 ← 91.53 m → S 81.381067°
E149.644775°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
S 81.381890°
E149.639283°		 ← 91.53 m →
8 374 m²		 S 81.381890°
E149.644775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915672302246094 y=0.911506652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915672302246094 × 216)
    floor (0.915672302246094 × 65536)
    floor (60009.5)     		tx = 60009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911506652832031 × 216)
    floor (0.911506652832031 × 65536)
    floor (59736.5)     		ty = 59736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60009 / 59736 ti = "16/60009/59736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60009/59736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60009 ÷ 216
    60009 ÷ 65536     		x = 0.915664672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59736 ÷ 216
    59736 ÷ 65536     		y = 0.9114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915664672851562 × 2 - 1) × π
    0.831329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61169817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58552461790735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61169817} λ = 2.61169817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58552461790735))-π/2
    2×atan(0.0753565358412144)-π/2
    2×0.075214379813709-π/2
    0.150428759627418-1.57079632675     		φ = -1.42036757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61169817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.639283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42036757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.381067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60009 KachelY 59736 2.61169817 -1.42036757 149.639283 -81.381067
    Oben rechts KachelX + 1 60010 KachelY 59736 2.61179404 -1.42036757 149.644775 -81.381067
    Unten links KachelX 60009 KachelY + 1 59737 2.61169817 -1.42038193 149.639283 -81.381890
    Unten rechts KachelX + 1 60010 KachelY + 1 59737 2.61179404 -1.42038193 149.644775 -81.381890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42036757--1.42038193) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42036757--1.42038193) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61169817-2.61179404) × cos(-1.42036757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149862061043088 × 6371000     		do = 91.5339140721097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61169817-2.61179404) × cos(-1.42038193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149847863196346 × 6371000     		du = 91.5252422009592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42036757)-sin(-1.42038193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149862061043088-0.149847863196346)×R²
    abs(2.61179404-2.61169817)×1.41978467423365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41978467423365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41978467423365e-05×40589641000000     		ar = 8373.81777160137m²