Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60009 / 41865
↖ ↑ ↗
← N 54.353355°
W 15.180359°		 ← 177.96 m → N 54.353355°
W 15.177612°		 →
↑
178.01 m
↓
↑
178.01 m
↓
N 54.351754°
W 15.180359°		 ← 177.97 m →
31 679 m²		 N 54.351754°
W 15.177612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457836151123047 y=0.319408416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457836151123047 × 217)
    floor (0.457836151123047 × 131072)
    floor (60009.5)     		tx = 60009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319408416748047 × 217)
    floor (0.319408416748047 × 131072)
    floor (41865.5)     		ty = 41865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60009 / 41865 ti = "17/60009/41865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60009/41865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60009 ÷ 217
    60009 ÷ 131072     		x = 0.457832336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41865 ÷ 217
    41865 ÷ 131072     		y = 0.319404602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457832336425781 × 2 - 1) × π
    -0.0843353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26494724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319404602050781 × 2 - 1) × π
    0.361190795898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13471435090635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26494724} λ = -0.26494724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13471435090635))-π/2
    2×atan(3.11028496591905)-π/2
    2×1.25972066599271-π/2
    2.51944133198542-1.57079632675     		φ = 0.94864501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26494724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.180359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94864501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.353355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60009 KachelY 41865 -0.26494724 0.94864501 -15.180359 54.353355
    Oben rechts KachelX + 1 60010 KachelY 41865 -0.26489931 0.94864501 -15.177612 54.353355
    Unten links KachelX 60009 KachelY + 1 41866 -0.26494724 0.94861707 -15.180359 54.351754
    Unten rechts KachelX + 1 60010 KachelY + 1 41866 -0.26489931 0.94861707 -15.177612 54.351754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94864501-0.94861707) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dl = 178.00574000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94864501-0.94861707) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dr = 178.00574000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26494724--0.26489931) × cos(0.94864501) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582784725017071 × 6371000     		do = 177.960326684107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26494724--0.26489931) × cos(0.94861707) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582807429576339 × 6371000     		du = 177.967259794416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94864501)-sin(0.94861707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582784725017071-0.582807429576339)×R²
    abs(-0.26489931--0.26494724)×2.27045592677833e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27045592677833e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27045592677833e-05×40589641000000     		ar = 31678.5767109185m²