Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60008 / 59810
↖ ↑ ↗
← S 81.441772°
E149.633789°		 ← 90.90 m → S 81.441772°
E149.639283°		 →
↑
90.85 m
↓
↑
90.85 m
↓
S 81.442589°
E149.633789°		 ← 90.89 m →
8 258 m²		 S 81.442589°
E149.639283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915657043457031 y=0.912635803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915657043457031 × 216)
    floor (0.915657043457031 × 65536)
    floor (60008.5)     		tx = 60008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912635803222656 × 216)
    floor (0.912635803222656 × 65536)
    floor (59810.5)     		ty = 59810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60008 / 59810 ti = "16/60008/59810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60008/59810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60008 ÷ 216
    60008 ÷ 65536     		x = 0.9156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59810 ÷ 216
    59810 ÷ 65536     		y = 0.912628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9156494140625 × 2 - 1) × π
    0.831298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61160229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.82525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59261927905112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61160229} λ = 2.61160229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59261927905112))-π/2
    2×atan(0.0748237987834778)-π/2
    2×0.0746846297813797-π/2
    0.149369259562759-1.57079632675     		φ = -1.42142707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61160229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42142707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.441772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60008 KachelY 59810 2.61160229 -1.42142707 149.633789 -81.441772
    Oben rechts KachelX + 1 60009 KachelY 59810 2.61169817 -1.42142707 149.639283 -81.441772
    Unten links KachelX 60008 KachelY + 1 59811 2.61160229 -1.42144133 149.633789 -81.442589
    Unten rechts KachelX + 1 60009 KachelY + 1 59811 2.61169817 -1.42144133 149.639283 -81.442589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42142707--1.42144133) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dl = 90.850459999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42142707--1.42144133) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dr = 90.850459999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61160229-2.61169817) × cos(-1.42142707) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148814442150133 × 6371000     		do = 90.9035222327237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61160229-2.61169817) × cos(-1.42144133) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148800340918131 × 6371000     		du = 90.8949084742851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42142707)-sin(-1.42144133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148814442150133-0.148800340918131)×R²
    abs(2.61169817-2.61160229)×1.41012320026002e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41012320026002e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41012320026002e-05×40589641000000     		ar = 8258.23552869531m²