Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60008 / 59112
↖ ↑ ↗
← S 80.851891°
E149.633789°		 ← 97.12 m → S 80.851891°
E149.639283°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 80.852764°
E149.633789°		 ← 97.11 m →
9 429 m²		 S 80.852764°
E149.639283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915657043457031 y=0.901985168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915657043457031 × 216)
    floor (0.915657043457031 × 65536)
    floor (60008.5)     		tx = 60008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901985168457031 × 216)
    floor (0.901985168457031 × 65536)
    floor (59112.5)     		ty = 59112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60008 / 59112 ti = "16/60008/59112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60008/59112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60008 ÷ 216
    60008 ÷ 65536     		x = 0.9156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59112 ÷ 216
    59112 ÷ 65536     		y = 0.9019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9156494140625 × 2 - 1) × π
    0.831298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61160229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.803955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52569936718152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61160229} λ = 2.61160229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52569936718152))-π/2
    2×atan(0.0800023422044253)-π/2
    2×0.0798323130214476-π/2
    0.159664626042895-1.57079632675     		φ = -1.41113170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61160229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41113170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60008 KachelY 59112 2.61160229 -1.41113170 149.633789 -80.851891
    Oben rechts KachelX + 1 60009 KachelY 59112 2.61169817 -1.41113170 149.639283 -80.851891
    Unten links KachelX 60008 KachelY + 1 59113 2.61160229 -1.41114694 149.633789 -80.852764
    Unten rechts KachelX + 1 60009 KachelY + 1 59113 2.61169817 -1.41114694 149.639283 -80.852764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41113170--1.41114694) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41113170--1.41114694) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61160229-2.61169817) × cos(-1.41113170) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158987108082589 × 6371000     		do = 97.1175102731057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61160229-2.61169817) × cos(-1.41114694) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158972061906885 × 6371000     		du = 97.1083192944084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41113170)-sin(-1.41114694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158987108082589-0.158972061906885)×R²
    abs(2.61169817-2.61160229)×1.50461757042197e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50461757042197e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50461757042197e-05×40589641000000     		ar = 9429.08523247434m²