Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60008 / 41529
↖ ↑ ↗
← N 54.887667°
W 15.183105°		 ← 175.68 m → N 54.887667°
W 15.180359°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 54.886087°
W 15.183105°		 ← 175.68 m →
30 858 m²		 N 54.886087°
W 15.180359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457828521728516 y=0.316844940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457828521728516 × 217)
    floor (0.457828521728516 × 131072)
    floor (60008.5)     		tx = 60008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316844940185547 × 217)
    floor (0.316844940185547 × 131072)
    floor (41529.5)     		ty = 41529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60008 / 41529 ti = "17/60008/41529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60008/41529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60008 ÷ 217
    60008 ÷ 131072     		x = 0.45782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41529 ÷ 217
    41529 ÷ 131072     		y = 0.316841125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.0843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26499518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316841125488281 × 2 - 1) × π
    0.366317749023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.15082114917869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26499518} λ = -0.26499518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15082114917869))-π/2
    2×atan(3.16078732225779)-π/2
    2×1.264383414289-π/2
    2.52876682857799-1.57079632675     		φ = 0.95797050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26499518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.183105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95797050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.887667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60008 KachelY 41529 -0.26499518 0.95797050 -15.183105 54.887667
    Oben rechts KachelX + 1 60009 KachelY 41529 -0.26494724 0.95797050 -15.180359 54.887667
    Unten links KachelX 60008 KachelY + 1 41530 -0.26499518 0.95794293 -15.183105 54.886087
    Unten rechts KachelX + 1 60009 KachelY + 1 41530 -0.26494724 0.95794293 -15.180359 54.886087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95797050-0.95794293) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dl = 175.648469999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95797050-0.95794293) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dr = 175.648469999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26499518--0.26494724) × cos(0.95797050) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575181353092221 × 6371000     		do = 175.675190402481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26499518--0.26494724) × cos(0.95794293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575203905848322 × 6371000     		du = 175.682078594702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95797050)-sin(0.95794293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575181353092221-0.575203905848322)×R²
    abs(-0.26494724--0.26499518)×2.25527561011907e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25527561011907e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25527561011907e-05×40589641000000     		ar = 30857.6833631348m²