Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60007 / 30135
↖ ↑ ↗
← N 69.233763°
W 15.185852°		 ← 108.29 m → N 69.233763°
W 15.183105°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
N 69.232789°
W 15.185852°		 ← 108.30 m →
11 729 m²		 N 69.232789°
W 15.183105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457820892333984 y=0.229915618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457820892333984 × 217)
    floor (0.457820892333984 × 131072)
    floor (60007.5)     		tx = 60007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229915618896484 × 217)
    floor (0.229915618896484 × 131072)
    floor (30135.5)     		ty = 30135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60007 / 30135 ti = "17/60007/30135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60007/30135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60007 ÷ 217
    60007 ÷ 131072     		x = 0.457817077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30135 ÷ 217
    30135 ÷ 131072     		y = 0.229911804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457817077636719 × 2 - 1) × π
    -0.0843658447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26504312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229911804199219 × 2 - 1) × π
    0.540176391601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.69701418344961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26504312} λ = -0.26504312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69701418344961))-π/2
    2×atan(5.45762756513758)-π/2
    2×1.38957672213697-π/2
    2.77915344427394-1.57079632675     		φ = 1.20835712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26504312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.185852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20835712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.233763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60007 KachelY 30135 -0.26504312 1.20835712 -15.185852 69.233763
    Oben rechts KachelX + 1 60008 KachelY 30135 -0.26499518 1.20835712 -15.183105 69.233763
    Unten links KachelX 60007 KachelY + 1 30136 -0.26504312 1.20834012 -15.185852 69.232789
    Unten rechts KachelX + 1 60008 KachelY + 1 30136 -0.26499518 1.20834012 -15.183105 69.232789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20835712-1.20834012) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dl = 108.307000000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20835712-1.20834012) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dr = 108.307000000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26504312--0.26499518) × cos(1.20835712) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354556028935279 × 6371000     		do = 108.290537509073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26504312--0.26499518) × cos(1.20834012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354571924475146 × 6371000     		du = 108.2953924161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20835712)-sin(1.20834012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354556028935279-0.354571924475146)×R²
    abs(-0.26499518--0.26504312)×1.589553986725e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.589553986725e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.589553986725e-05×40589641000000     		ar = 11728.88615652m²