Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60006 / 41528
↖ ↑ ↗
← N 54.889246°
W 15.188598°		 ← 175.63 m → N 54.889246°
W 15.185852°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 54.887667°
W 15.188598°		 ← 175.64 m →
30 850 m²		 N 54.887667°
W 15.185852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457813262939453 y=0.316837310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457813262939453 × 217)
    floor (0.457813262939453 × 131072)
    floor (60006.5)     		tx = 60006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316837310791016 × 217)
    floor (0.316837310791016 × 131072)
    floor (41528.5)     		ty = 41528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60006 / 41528 ti = "17/60006/41528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60006/41528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60006 ÷ 217
    60006 ÷ 131072     		x = 0.457809448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41528 ÷ 217
    41528 ÷ 131072     		y = 0.31683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457809448242188 × 2 - 1) × π
    -0.084381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26509105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31683349609375 × 2 - 1) × π
    0.3663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15086908607831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26509105} λ = -0.26509105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15086908607831))-π/2
    2×atan(3.1609388442341)-π/2
    2×1.26439720022405-π/2
    2.52879440044811-1.57079632675     		φ = 0.95799807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26509105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.188598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95799807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.889246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60006 KachelY 41528 -0.26509105 0.95799807 -15.188598 54.889246
    Oben rechts KachelX + 1 60007 KachelY 41528 -0.26504312 0.95799807 -15.185852 54.889246
    Unten links KachelX 60006 KachelY + 1 41529 -0.26509105 0.95797050 -15.188598 54.887667
    Unten rechts KachelX + 1 60007 KachelY + 1 41529 -0.26504312 0.95797050 -15.185852 54.887667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95799807-0.95797050) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dl = 175.648470000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95799807-0.95797050) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dr = 175.648470000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26509105--0.26504312) × cos(0.95799807) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575158799898921 × 6371000     		do = 175.631658709403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26509105--0.26504312) × cos(0.95797050) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575181353092221 × 6371000     		du = 175.638545598291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95799807)-sin(0.95797050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575158799898921-0.575181353092221)×R²
    abs(-0.26504312--0.26509105)×2.25531932993572e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25531932993572e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25531932993572e-05×40589641000000     		ar = 30850.0369738175m²