Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60005 / 59706
↖ ↑ ↗
← S 81.356335°
E149.617310°		 ← 91.79 m → S 81.356335°
E149.622803°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 81.357161°
E149.617310°		 ← 91.79 m →
8 427 m²		 S 81.357161°
E149.622803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915611267089844 y=0.911048889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915611267089844 × 216)
    floor (0.915611267089844 × 65536)
    floor (60005.5)     		tx = 60005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911048889160156 × 216)
    floor (0.911048889160156 × 65536)
    floor (59706.5)     		ty = 59706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60005 / 59706 ti = "16/60005/59706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60005/59706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60005 ÷ 216
    60005 ÷ 65536     		x = 0.915603637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59706 ÷ 216
    59706 ÷ 65536     		y = 0.911041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915603637695312 × 2 - 1) × π
    0.831207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61131467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.82208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58264840393015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61131467} λ = 2.61131467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58264840393015))-π/2
    2×atan(0.0755735893594228)-π/2
    2×0.0754302042163665-π/2
    0.150860408432733-1.57079632675     		φ = -1.41993592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61131467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.617310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41993592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.356335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60005 KachelY 59706 2.61131467 -1.41993592 149.617310 -81.356335
    Oben rechts KachelX + 1 60006 KachelY 59706 2.61141054 -1.41993592 149.622803 -81.356335
    Unten links KachelX 60005 KachelY + 1 59707 2.61131467 -1.41995033 149.617310 -81.357161
    Unten rechts KachelX + 1 60006 KachelY + 1 59707 2.61141054 -1.41995033 149.622803 -81.357161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41993592--1.41995033) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dl = 91.8061100008363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41993592--1.41995033) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dr = 91.8061100008363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61131467-2.61141054) × cos(-1.41993592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150288822408175 × 6371000     		do = 91.794574694613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61131467-2.61141054) × cos(-1.41995033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150274576059415 × 6371000     		du = 91.7858731990235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41993592)-sin(-1.41995033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150288822408175-0.150274576059415)×R²
    abs(2.61141054-2.61131467)×1.42463487595446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42463487595446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42463487595446e-05×40589641000000     		ar = 8426.90339676457m²