Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60005 / 41523
↖ ↑ ↗
← N 54.897144°
W 15.191345°		 ← 175.63 m → N 54.897144°
W 15.188598°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 54.895565°
W 15.191345°		 ← 175.64 m →
30 850 m²		 N 54.895565°
W 15.188598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457805633544922 y=0.316799163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457805633544922 × 217)
    floor (0.457805633544922 × 131072)
    floor (60005.5)     		tx = 60005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316799163818359 × 217)
    floor (0.316799163818359 × 131072)
    floor (41523.5)     		ty = 41523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60005 / 41523 ti = "17/60005/41523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60005/41523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60005 ÷ 217
    60005 ÷ 131072     		x = 0.457801818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41523 ÷ 217
    41523 ÷ 131072     		y = 0.316795349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457801818847656 × 2 - 1) × π
    -0.0843963623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26513899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316795349121094 × 2 - 1) × π
    0.366409301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.15110877057641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26513899} λ = -0.26513899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15110877057641))-π/2
    2×atan(3.16169656307761)-π/2
    2×1.2644661217906-π/2
    2.52893224358121-1.57079632675     		φ = 0.95813592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26513899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.191345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95813592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.897144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60005 KachelY 41523 -0.26513899 0.95813592 -15.191345 54.897144
    Oben rechts KachelX + 1 60006 KachelY 41523 -0.26509105 0.95813592 -15.188598 54.897144
    Unten links KachelX 60005 KachelY + 1 41524 -0.26513899 0.95810835 -15.191345 54.895565
    Unten rechts KachelX + 1 60006 KachelY + 1 41524 -0.26509105 0.95810835 -15.188598 54.895565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95813592-0.95810835) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dl = 175.648469999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95813592-0.95810835) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dr = 175.648469999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26513899--0.26509105) × cos(0.95813592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575046027375052 × 6371000     		do = 175.633858445174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26513899--0.26509105) × cos(0.95810835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575068582754085 × 6371000     		du = 175.640747438506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95813592)-sin(0.95810835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575046027375052-0.575068582754085)×R²
    abs(-0.26509105--0.26513899)×2.25553790330624e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25553790330624e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25553790330624e-05×40589641000000     		ar = 30850.4235385242m²