Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60004 / 59809
↖ ↑ ↗
← S 81.440954°
E149.611817°		 ← 90.90 m → S 81.440954°
E149.617310°		 →
↑
90.91 m
↓
↑
90.91 m
↓
S 81.441772°
E149.611817°		 ← 90.89 m →
8 264 m²		 S 81.441772°
E149.617310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915596008300781 y=0.912620544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915596008300781 × 216)
    floor (0.915596008300781 × 65536)
    floor (60004.5)     		tx = 60004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912620544433594 × 216)
    floor (0.912620544433594 × 65536)
    floor (59809.5)     		ty = 59809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60004 / 59809 ti = "16/60004/59809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60004/59809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60004 ÷ 216
    60004 ÷ 65536     		x = 0.91558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59809 ÷ 216
    59809 ÷ 65536     		y = 0.912612915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91558837890625 × 2 - 1) × π
    0.8311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61121880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912612915039062 × 2 - 1) × π
    -0.825225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59252340525188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61121880} λ = 2.61121880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59252340525188))-π/2
    2×atan(0.0748309727692338)-π/2
    2×0.0746917638226565-π/2
    0.149383527645313-1.57079632675     		φ = -1.42141280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61121880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42141280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.440954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60004 KachelY 59809 2.61121880 -1.42141280 149.611817 -81.440954
    Oben rechts KachelX + 1 60005 KachelY 59809 2.61131467 -1.42141280 149.617310 -81.440954
    Unten links KachelX 60004 KachelY + 1 59810 2.61121880 -1.42142707 149.611817 -81.441772
    Unten rechts KachelX + 1 60005 KachelY + 1 59810 2.61131467 -1.42142707 149.617310 -81.441772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42141280--1.42142707) × R
    1.42700000000939e-05 × 6371000     		dl = 90.9141700005984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42141280--1.42142707) × R
    1.42700000000939e-05 × 6371000     		dr = 90.9141700005984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61121880-2.61131467) × cos(-1.42141280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148828553240505 × 6371000     		do = 90.9026601460925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61121880-2.61131467) × cos(-1.42142707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148814442150133 × 6371000     		du = 90.894041264672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42141280)-sin(-1.42142707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148828553240505-0.148814442150133)×R²
    abs(2.61131467-2.61121880)×1.41110903718322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41110903718322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41110903718322e-05×40589641000000     		ar = 8263.94810906181m²