Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60004 / 41900
↖ ↑ ↗
← N 54.297294°
W 15.194092°		 ← 178.24 m → N 54.297294°
W 15.191345°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.295691°
W 15.194092°		 ← 178.25 m →
31 774 m²		 N 54.295691°
W 15.191345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457798004150391 y=0.319675445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457798004150391 × 217)
    floor (0.457798004150391 × 131072)
    floor (60004.5)     		tx = 60004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319675445556641 × 217)
    floor (0.319675445556641 × 131072)
    floor (41900.5)     		ty = 41900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60004 / 41900 ti = "17/60004/41900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60004/41900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60004 ÷ 217
    60004 ÷ 131072     		x = 0.457794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41900 ÷ 217
    41900 ÷ 131072     		y = 0.319671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.08441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26518693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319671630859375 × 2 - 1) × π
    0.36065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13303655941965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26518693} λ = -0.26518693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13303655941965))-π/2
    2×atan(3.10507093153638)-π/2
    2×1.2592314370063-π/2
    2.5184628740126-1.57079632675     		φ = 0.94766655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26518693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.194092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94766655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.297294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60004 KachelY 41900 -0.26518693 0.94766655 -15.194092 54.297294
    Oben rechts KachelX + 1 60005 KachelY 41900 -0.26513899 0.94766655 -15.191345 54.297294
    Unten links KachelX 60004 KachelY + 1 41901 -0.26518693 0.94763857 -15.194092 54.295691
    Unten rechts KachelX + 1 60005 KachelY + 1 41901 -0.26513899 0.94763857 -15.191345 54.295691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94766655-0.94763857) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94766655-0.94763857) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26518693--0.26513899) × cos(0.94766655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58357956852278 × 6371000     		do = 178.240221564834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26518693--0.26513899) × cos(0.94763857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583602289620188 × 6371000     		du = 178.247161172823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94766655)-sin(0.94763857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58357956852278-0.583602289620188)×R²
    abs(-0.26513899--0.26518693)×2.27210974079739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27210974079739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27210974079739e-05×40589641000000     		ar = 31773.8238069633m²