Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60004 / 41526
↖ ↑ ↗
← N 54.892405°
W 15.194092°		 ← 175.65 m → N 54.892405°
W 15.191345°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 54.890826°
W 15.194092°		 ← 175.66 m →
30 854 m²		 N 54.890826°
W 15.191345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457798004150391 y=0.316822052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457798004150391 × 217)
    floor (0.457798004150391 × 131072)
    floor (60004.5)     		tx = 60004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316822052001953 × 217)
    floor (0.316822052001953 × 131072)
    floor (41526.5)     		ty = 41526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60004 / 41526 ti = "17/60004/41526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60004/41526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60004 ÷ 217
    60004 ÷ 131072     		x = 0.457794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41526 ÷ 217
    41526 ÷ 131072     		y = 0.316818237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.08441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26518693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316818237304688 × 2 - 1) × π
    0.366363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15096495987755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26518693} λ = -0.26518693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15096495987755))-π/2
    2×atan(3.16124190997806)-π/2
    2×1.26442477047239-π/2
    2.52884954094477-1.57079632675     		φ = 0.95805321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26518693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.194092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95805321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.892405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60004 KachelY 41526 -0.26518693 0.95805321 -15.194092 54.892405
    Oben rechts KachelX + 1 60005 KachelY 41526 -0.26513899 0.95805321 -15.191345 54.892405
    Unten links KachelX 60004 KachelY + 1 41527 -0.26518693 0.95802564 -15.194092 54.890826
    Unten rechts KachelX + 1 60005 KachelY + 1 41527 -0.26513899 0.95802564 -15.191345 54.890826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95805321-0.95802564) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dl = 175.648469999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95805321-0.95802564) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dr = 175.648469999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26518693--0.26513899) × cos(0.95805321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575113692200797 × 6371000     		do = 175.654525024445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26518693--0.26513899) × cos(0.95802564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575136246268441 × 6371000     		du = 175.661413617246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95805321)-sin(0.95802564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575113692200797-0.575136246268441)×R²
    abs(-0.26513899--0.26518693)×2.2554067644176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2554067644176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2554067644176e-05×40589641000000     		ar = 30854.0535564348m²