Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60003 / 41901
↖ ↑ ↗
← N 54.295691°
W 15.196839°		 ← 178.25 m → N 54.295691°
W 15.194092°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
N 54.294088°
W 15.196839°		 ← 178.25 m →
31 764 m²		 N 54.294088°
W 15.194092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457790374755859 y=0.319683074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457790374755859 × 217)
    floor (0.457790374755859 × 131072)
    floor (60003.5)     		tx = 60003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319683074951172 × 217)
    floor (0.319683074951172 × 131072)
    floor (41901.5)     		ty = 41901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60003 / 41901 ti = "17/60003/41901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60003/41901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60003 ÷ 217
    60003 ÷ 131072     		x = 0.457786560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41901 ÷ 217
    41901 ÷ 131072     		y = 0.319679260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457786560058594 × 2 - 1) × π
    -0.0844268798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26523487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319679260253906 × 2 - 1) × π
    0.360641479492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.13298862252003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26523487} λ = -0.26523487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13298862252003))-π/2
    2×atan(3.10492208763041)-π/2
    2×1.2592174492364-π/2
    2.5184348984728-1.57079632675     		φ = 0.94763857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26523487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.196839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94763857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.295691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60003 KachelY 41901 -0.26523487 0.94763857 -15.196839 54.295691
    Oben rechts KachelX + 1 60004 KachelY 41901 -0.26518693 0.94763857 -15.194092 54.295691
    Unten links KachelX 60003 KachelY + 1 41902 -0.26523487 0.94761060 -15.196839 54.294088
    Unten rechts KachelX + 1 60004 KachelY + 1 41902 -0.26518693 0.94761060 -15.194092 54.294088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94763857-0.94761060) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dl = 178.196869999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94763857-0.94761060) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dr = 178.196869999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26523487--0.26518693) × cos(0.94763857) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583602289620188 × 6371000     		do = 178.24716117303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26523487--0.26518693) × cos(0.94761060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583625002140472 × 6371000     		du = 178.254098161345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94763857)-sin(0.94761060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583602289620188-0.583625002140472)×R²
    abs(-0.26518693--0.26523487)×2.27125202841849e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27125202841849e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27125202841849e-05×40589641000000     		ar = 31763.7042842629m²