Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60001 / 59815
↖ ↑ ↗
← S 81.445858°
E149.595337°		 ← 90.86 m → S 81.445858°
E149.600830°		 →
↑
90.85 m
↓
↑
90.85 m
↓
S 81.446675°
E149.595337°		 ← 90.85 m →
8 254 m²		 S 81.446675°
E149.600830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915550231933594 y=0.912712097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915550231933594 × 216)
    floor (0.915550231933594 × 65536)
    floor (60001.5)     		tx = 60001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912712097167969 × 216)
    floor (0.912712097167969 × 65536)
    floor (59815.5)     		ty = 59815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60001 / 59815 ti = "16/60001/59815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60001/59815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60001 ÷ 216
    60001 ÷ 65536     		x = 0.915542602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59815 ÷ 216
    59815 ÷ 65536     		y = 0.912704467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915542602539062 × 2 - 1) × π
    0.831085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61093117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912704467773438 × 2 - 1) × π
    -0.825408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59309864804732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61093117} λ = 2.61093117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59309864804732))-π/2
    2×atan(0.0747879391698432)-π/2
    2×0.0746489697185376-π/2
    0.149297939437075-1.57079632675     		φ = -1.42149839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61093117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.595337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42149839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.445858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60001 KachelY 59815 2.61093117 -1.42149839 149.595337 -81.445858
    Oben rechts KachelX + 1 60002 KachelY 59815 2.61102705 -1.42149839 149.600830 -81.445858
    Unten links KachelX 60001 KachelY + 1 59816 2.61093117 -1.42151265 149.595337 -81.446675
    Unten rechts KachelX + 1 60002 KachelY + 1 59816 2.61102705 -1.42151265 149.600830 -81.446675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42149839--1.42151265) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dl = 90.850459999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42149839--1.42151265) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dr = 90.850459999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61093117-2.61102705) × cos(-1.42149839) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148743915910052 × 6371000     		do = 90.8604411745911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61093117-2.61102705) × cos(-1.42151265) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148729814526745 × 6371000     		du = 90.8518273237278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42149839)-sin(-1.42151265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148743915910052-0.148729814526745)×R²
    abs(2.61102705-2.61093117)×1.41013833072912e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41013833072912e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41013833072912e-05×40589641000000     		ar = 8254.32159041417m²