Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60001 / 41890
↖ ↑ ↗
← N 54.313319°
W 15.202332°		 ← 178.17 m → N 54.313319°
W 15.199585°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
N 54.311717°
W 15.202332°		 ← 178.18 m →
31 739 m²		 N 54.311717°
W 15.199585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457775115966797 y=0.319599151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457775115966797 × 217)
    floor (0.457775115966797 × 131072)
    floor (60001.5)     		tx = 60001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319599151611328 × 217)
    floor (0.319599151611328 × 131072)
    floor (41890.5)     		ty = 41890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60001 / 41890 ti = "17/60001/41890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60001/41890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60001 ÷ 217
    60001 ÷ 131072     		x = 0.457771301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41890 ÷ 217
    41890 ÷ 131072     		y = 0.319595336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457771301269531 × 2 - 1) × π
    -0.0844573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26533074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319595336914062 × 2 - 1) × π
    0.360809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13351592841585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26533074} λ = -0.26533074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13351592841585))-π/2
    2×atan(3.1065597630933)-π/2
    2×1.25937128475966-π/2
    2.51874256951932-1.57079632675     		φ = 0.94794624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26533074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.202332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94794624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.313319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60001 KachelY 41890 -0.26533074 0.94794624 -15.202332 54.313319
    Oben rechts KachelX + 1 60002 KachelY 41890 -0.26528280 0.94794624 -15.199585 54.313319
    Unten links KachelX 60001 KachelY + 1 41891 -0.26533074 0.94791828 -15.202332 54.311717
    Unten rechts KachelX + 1 60002 KachelY + 1 41891 -0.26528280 0.94791828 -15.199585 54.311717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94794624-0.94791828) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dl = 178.133160000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94794624-0.94791828) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dr = 178.133160000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26533074--0.26528280) × cos(0.94794624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58335242176773 × 6371000     		do = 178.17084509929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26533074--0.26528280) × cos(0.94791828) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583375131187215 × 6371000     		du = 178.177781140542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94794624)-sin(0.94791828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58335242176773-0.583375131187215)×R²
    abs(-0.26528280--0.26533074)×2.2709419485345e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2709419485345e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2709419485345e-05×40589641000000     		ar = 31738.7534289211m²